До нас дошла римская система записи чисел
Применяется более 2500 лет.
В качестве цифр в ней используются латинские буквы:
Например:
CXXVIII = 100 +10 +10 +5 +1 +1 +1=128
Позиционной называют систему счисления, в которой количественное значение цифры зависит от ее положения в числе.
Вавилонская система счисления
Первая позиционная система счисления была придумана еще в древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной , то есть в ней использовалось шестьдесят цифр!
Числа составлялись из знаков двух видов:
Единицы – прямой клин
Десятки – лежачий клин
Позиционные системы счисления
Наиболее распространенными в настоящее время являются
Десятичная - двоичная
Восьмеричная
-шестнадцатеричная позиционные системы
счисления.
Десятичная система
счисления
Любое число мы можем записать при помощи десяти цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Именно поэтому наша современная система счисления называется
десятичной.
Известный русский математик Н.Н.Лузин так выразился по этому поводу:
«Преимущества десятичной системы счисления не математические, а зоологические. Если бы у нас было на руках не десять пальцев, а восемь, то человечество бы пользовалось восьмеричной системой счисления.»
Десятичная система счисления
Хотя десятичную систему счисления принято называть арабской , но зародилась она в Индии , в V веке.
В Европе об этой системе узнали в ХII веке из арабских научных трактатов, которые были переведены на латынь.
Этим и объясняется название «Арабские цифры».
Однако широкое распространение в науке и в обиходе десятичная система счисления получила только в XVI веке. Эта система позволяет легко выполнять любые арифметические вычисления, записывать числа любой величины. Распространение арабской системы дало мощный толчок развитию математики.
Арабская нумерация
Возобладала при Петре I
Как видоизменялись цифры, употреблявшиеся арабами , пока они не приняли современные формы:
Была придумана задолго до появления компьютеров. Официальное рождение двоичной арифметики связано с именем Г. В. Лейбница, опубликовавшего в 1703 г. статью, в которой он рассмотрел правила выполнения арифметических действий над двоичными
числами. Ее недостаток – «длинная» запись чисел.
В настоящий момент – наиболее употребительная в информатике, вычислительной технике и смежных отраслях система счисления. Использует две цифры:
0 и 1
Свернутая форма записи числа: 101 2
Развернутая форма: 101 =1*22 +0*21 +1*20
Все числа в компьютере представляются
с помощью нулей и единиц, т. е. в двоичной системе счисления.
Позиционная система счисления
За основание позиционной системы можно принять любое натуральное число больше единицы.
Основание системы, к которой относится число, обозначается подстрочным индексом к этому числу.
1110010012 |
356418 |
43B8D16 |
Пример : основание десятичной системы счисления =10
1 из 31
Презентация - Системы счисления
Текст этой презентации
Тема «Системы счисления»
Введение
Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами - они с нами везде. Различные системы счисления используются всегда, когда появляется потребность в числовых расчётах, начиная с вычислений учениками младших классов, выполняемых карандашом на бумаге, заканчивая вычислениями, выполняемыми на суперкомпьютерах.
Система счисления – это определённый способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над ними. Цель создания системы счисления- выработка наиболее удобного способа записи количественной информации.
История систем счисления
Системы счисления
Позиционные
Непозиционные
Древние системы счисления:
Единичная система
Древнегреческая нумерация
Славянская нумерация
Римская нумерация
Позиционные и непозиционные системы счисления
Непозиционные системы Позиционные системы
От положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Основание – количество используемых цифр.
Позиция – место каждой цифры.
Запись числа в позиционной системе счисления
Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена: Хs=An · Sn-1 + An-1 · Sn-2 + An-2 · Sn-3 +...+ A2 · S1 + A1 · S0
где S - основание системы счисления, А – цифры числа, записанного в данной системе счисления, n - количество разрядов числа.
Так, например число 629310запишется в форме многочлена следующим образом:
629310=6·103 + 2·102 + 9·101 + 3·100
Примеры позиционных систем счисления:
Двоичная Система счисления с основанием 2, используются два символа - 0 и 1.
Восьмеричная Система счисления с основанием 8, используются цифры от 0 до 7.
Десятичная Система с основанием 10, наиболее распространённая система счисления в мире.
Двенадцатеричная Система с основанием 12. Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B.
Шестнадцатеричная С основанием 16, используются цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозначения цифр от 10 до 15.
Шестидесятеричная Система с основанием 60, используется в измерении углов и, в частности, долготы и широты.
История двоичной системы счисления
Двоичная система счисления была придумана математиками и философами ещё до появления компьютеров (XVII - XIX вв.). Пропагандистом двоичной системы был знаменитый Г.В. Лейбниц. Он отмечал особую простоту алгоритмов арифметических действий в двоичной арифметике в сравнении с другими системами и придавал ей определенный философский смысл.
В 1936 - 1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем.
Двоичная система счисления
Двоичная система счисления (бинарная система счисления, binary) - позиционная система счисления с основанием 2. Неудобством этой системы счисления является необходимость перевода исходных данных из десятичной системы в двоичную при вводе их в машину и обратного перевода из двоичной в десятичную при выводе результатов вычислений.
Главное достоинство двоичной системы - простота алгоритмов сложения, вычитания, умножения и деления.
Сложение, вычитание, умножение и деление в двоичной системе счисления
Сложение Вычитание Умножение Деление
0 + 0 = 0;
0 + 1 = 1;
1 + 0 = 1;
1 + 1 = 10. 0 - 0 = 0;
1 - 0 = 1;
1 - 1 = 0;
10 - 1 = 1. 0 · 1 = 0; 1 · 1 = 1. 0 / 1 = 0; 1 / 1 = 1.
Двоичное кодирование в компьютере
В конце ХХ века, века компьютеризации, человечество пользуется двоичной системой ежедневно, так как вся информация, обраба- тываемая современными ЭВМ, хранится в них в двоичном виде.
В современные компьютеры мы можем вводить текстовую информацию, числовые значения, а также графическую и звуковую информацию. Количество информации, хранящейся в ЭВМ, измеряется ее «длиной» (или «объемом»), которая выражается в битах (от английского binary digit – двоичная цифра).
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
8
16
Заключение
Высшим достижением древней арифметики является открытие позиционного принципа представления чисел. Нужно признать важность не только самой распространенной системы, которой мы пользуемся ежедневно. Но и каждой по отдельности. Ведь в разных областях используются разные системы счисления, со своими особенностями и характерными свойствами.
Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная
1 001 1 1
2 010 2 2
3 011 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10
Перевод двоичного числа в десятичное
Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики: Х10= Аn·2n-1 + Аn-1·2n-2 + Аn-2·2n-3 +…+А2·21 + А1·20
Перевод чисел
Перевод восьмеричного числа в десятичное
Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
Х10= Аn·8n-1 + Аn-1·8n-2 + Аn-2·8n-3 +…+А2·81 + А1·80
Перевод чисел
Перевод шестнадцатеричного числа в десятичное
Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:
Х10= Аn·16n-1 + Аn-1·16n-2 + Аn-2·16n-3 +…+А2·161 + А1·160
Перевод чисел
Перевод десятичного числа в двоичную систему
Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример: Число 2210 перевести в двоичную систему счисления: 2210=101102
Перевод чисел
Перевод десятичного числа в восьмеричную систему
Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример: Число 57110 перевести в восьмеричную систему счисления: 57110=10738
Перевод чисел
Перевод десятичного числа в шестнадцатеричную систему
Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример: Число 746710 перевести в шестнадцатеричную систему счисления: 746710=1D2B16
Перевод чисел
Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную
Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой. При переводе необходимо пользоваться двоично-восьмеричной таблицей: Пример: Число 10010112 перевести в восьмеричную систему счисления: 001 001 0112=1138
8-ная 0 1 2 3 4 5 6 7
Перевод чисел
Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную
Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр).
Двоично-шестнадцатеричная таблица: Пример: Число 10111000112 перевести в шестнадцатеричную систему счисления:
0010 1110 00112=2E316
16-ная 0 1 2 3 4 5 6 7
16-ная 8 9 A B C D E F
Перевод чисел
Перевод восьмеричного числа в двоичное
Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой. Пример: Число 5318 перевести в двоичную систему счисления:
5318=101 011 0012
2-ная 000 001 010 011 100 101 110 111
8-ная 0 1 2 3 4 5 6 7
Перевод чисел
Перевод шестнадцатеричного числа в двоичное
Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой. Пример: Число ЕЕ816 перевести в двоичную систему счисления:
ЕЕ816=1110111010002
2-ная 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
16-ная 0 1 2 3 4 5 6 7
2-ная 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
16-ная 8 9 A B C D E F
Перевод чисел
Перевод из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно
При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.
Пример 1: Число FEA16 перевести в восьмеричную систему счисления:
FEA16=1111111010102=111 111 101 0102=77528
Пример 2: Число 66358 перевести в шестнадцатеричную систему счисления: 66358=1101100111012=1101 1001 11012=D9D16
Перевод чисел
Единичная система
В древние времена, когда появилась потребность в записи чисел, количество предметов, изображалось нанесением черточек или засечек на какой-либо твердой поверхности.
Археологами найдены такие «записи» при раскопках культурных слоев, относящихся к периоду палеолита (10–11 тысяч лет до н.э.).
В такой системе применялся только один вид знаков – палочка. Каждое число обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых равнялось обозначаемому числу.
Древние системы счисления
Древнегреческая нумерация
Аттическая нумерация
Ионийская система
В третьем веке до н.э. аттическая нумерация была вытеснена ионийской системой.
В древнейшее время в Греции была распространена аттическая нумерация.
Древние системы счисления
Славянская нумерация
В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. Южные и восточные славянские народы для записи чисел пользовались алфавитной нумерацией. Славянская нумерация сохранялась только в богослужебных книгах. Над буквой, обозначавшей цифру, ставился специальный значок: («титло»). Для обозначения тысяч перед числом (слева внизу) ставился особый знак.
Z
Древние системы счисления
Римская нумерация
Древние римляне пользовались нумерацией, которая сохраняется до настоящего времени под именем «римской нумерации». Мы пользуемся ей для обозначения веков, юбилейных дат, наименования съездов и конференций, для нумерации глав книги или строф стихотворения.
I - 1 V - 5 X - 10 L - 50 C - 100 D - 500 М - 1000
Запись цифр в римской нумерации:
Древние системы счисления
Ионийская система
Обозначение чисел в ионийской системе нумерации
Обозначение чисел в древнеславянской системе нумерации
Славянская нумерация
Код для вставки видеоплеера презентации на свой сайт:
История чисел и систем счисления Системы счисления Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр. Числа: 123, 45678, 1010011, CXL Цифры: 0, 1, 2, … I, V, X, L, … Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Типы систем счисления: – непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа; – позиционные – значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа; Непозиционные системы счисления Унарная система счисления Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …) На раскопках стоянок древних людей археологи находят изображения в виде засечек, черточек на твердых поверхностях: камне, глине, дереве- это так считали наши предки какие-то предметы, мешки, скот. Древнеегипетская десятичная непозиционная система Попробуйте узнать и прочитать это число? 2521 Римская система счисления I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев), X – 10 (две ладони), L – 50, C – 100 (Centum), D – 500 (Demimille), M – 1000 (Mille) Правила: – (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд – если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!) Пример: 2381 = M M C C C L X X X I Алфавитные системы счисления Славянская система счисления Позиционные системы счисления Двенадцатеричная система На Руси счет велся дюжинами, вспомните, чему равна ДЮЖИНА? 12 А где у нас еще встречается двенадцатеричная система счисления? Год – 12 месяцев, половина суток – 12 часов, сервизы и столовые приборы рассчитаны на 12 персон. Вавилонская шестидесятеричная система Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин - - для обозначения десятков. Число 32, например, записывали так: Знаки и служили цифрами в этой системе. Число 60 снова обозначалось тем же знаком, что и 1, этим же знаком обозначались и числа 3600, 216000 и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной. Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинался с появления прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево. Десятичная система Появилась она в Индии в \/ в.н.э. и возникла она после появления цифры 0, которую придумали греческие астрономы для обозначения отсутствующей величины. В последствии с этой системой счисления познакомились арабы. Они по достоинству оценили её, начали использовать и в ХII веке завезли в Европу. И с этого времени человечество пользуется этой системой счисления. Десятичная 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Двоичная система С появлением информатики, вычислительной техники нашла свое применение 2-я система счисления, корни которой уходят в древний Китай. Чему равно основание этой системы счисления? Какие цифры используют в записи? 2, цифры – 0 и 1. А почему её используют в информатике? Связано с кодированием информации: записью на диск, передачей электрических сигналов. Двоичная 2 0,1 Часы в двоичной системе счисления «ЛОМАЕМ» голову Прочитайте стихотворение А.Н.Старикова: Ей было 1100 лет, Она в 101-й класс ходила, В портфеле по 100 книг носила Все это правда, а не бред. Когда, пыля десятком ног, Она шагала по дороге, За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато 100-ногий. Она ловила каждый звук Своими 10-ю ушами, И 10 загорелых рук Портфель и поводок держали. И 10 темно-синих глаз Рассматривали мир привычно… Но станет все совсем обычным, Когда поймете наш рассказ. Поняли ли вы рассказ поэта? 11002 =1210; 1012 = 510 1002 = 410 102 = 210 Занимательные задача Мартышка висит на хвосте и жует бананы. В каждой руке по 101 банану, а в каждой ноге – на 1 банан больше, чем в руке. Сколько бананов у мартышки? Спасибо за внимание
Вавилонская система счисления
Ш ести десятери чн ая вави лон ская си стем а -п ервая и звестн ая н ам си стем а счи слен и я,
осн ован н ая н а п ози ц и он н ом п ри н ци пе.
И дея п ри п и сы вать ц и ф рам разн ы е вели чи н ы
взави си м о сти о т то го, к ак ую п о зи ц и ю о н и
за н и м а ю т в з а п и с и ч и сл а, в п е р в ы е п о я в и л а с ь в III
т ы с я ч е л е т и и д о н.э. в М е с о п о т а м и и (М е ж д у р е ч ь е)
у ш ум еров. О т ни х она переш ла к вави лонянам н овы м хозяевам М еж дуречья, п очем у и вош л а в
и стори ю как вави лон ская си стем а счи слен и я.Ч и сла в этой си стем е счи слен и я составляли сь
и з зн аков двух ви дов: прям ой кли н для
о б о зн ач ен и я ед и н и ц и л еж ач и й к л и н д л я
о б о зн ач ен и я д еся тко в. В се ч и сл а о т 1 д о 59
запи сы вали сь с пом ощ ью эти х зн аков, как в
о б ы ч н о й и е р о гл и ф и ч е с к о й с и с т е м е.В се чи сл о в ц елом зап и сы вал ось в п ози ц и о н н о й
си стем е счи слен и я с осн ован и ем 60. П оясн и м это
на прим ерах.
П оэтом у вави лон ская си стем а получи ла
н азван и е ш ест идесят еричн ой.Д л я о п р ед ел ен и я зн ач ен и я ч и сл а н ад о б ы л о
и зображ ен и е чи сла разби ть н а разряды сп рава
н алево. Ч ередован и е груп п оди н аковы х зн аков
("ц и ф р ") со о т в е т ст в о в а л о ч е р е д о в а н и ю
разрядов:
= 2 х 6 0 + 12 = 13 2Б ы л у в а в и л о н я н и з н а к, и г р а в ш и й р о л ь н ул я.
И м об озн ач ал и о тсутстви е п р ом еж уточ н ы х
разрядов. Н о отсутстви е м ладш и х разрядов н е
о б озн ач ал о сь н и к ак. Так, ч и сл о
м о гл о о б о з н а ч а т ь
и 3 и 18 0 = 3 6 0 и 10 8 0 0 = 3 6 0 6 0 и т а к д а л е е.
Р а з л и ч а т ь т а к и е ч и с л а м о ж н о б ы л о т о л ь к о п о с м ы с л у.Ш ести десятери чн ая си стем а ш и роко при м ен ялась
в астрон ом и чески х расчетах вплоть до эпохи
в о зр о ж д е н и я. И м е н н о е ю п ол ьзо в а л с я в о II в е к е
н.э. г р е ч е с к и й м а т е м а т и к и а с т р о н о м К л а в д и й
П тол ем ей п р и составл ен и и табл и ц ы си н усов
(д р е в н е й ш е й и з д о ш е д ш и х д о н а с).
