Тема: Сумма трёх и более слагаемых.
Цель:- Овладение учащимися способом сложения многозначных чисел, опираясь на предыдущие знания законов математики.
Задачи:
- Формирование вычислительных навыков.
- Развитие логического мышления, речи, умения высказывать свое мнение, доказывать свою точку зрения, подчинять общим правилам.
Воспитание нравственности и .
Оборудование:
- Учебник: , «Математика. » ч.1, Вентана-Граф, 2013;
рабочая тетрадь: , «Математика. 3 класс» №1, Вентана-Граф, 2013;
- таблички с примерами;
- карточки со схемами задач и с дополнительными заданиями;
- презентация.
Ход урока
1. Организационный: подготовка учащихся к работе
Учитель: - С каким настроением пришли на урок? (Варианты ответов детей)
- А что вы желаете себе на этом уроке? (Варианты ответов детей)
Я желаю вам, чтобы активно участвовали на уроке, усвоили новый материал и сумели его применить в дальнейшем.
(Открывают тетради. Записывают число и «Классная работа».)
2. Актуализация опорных знаний:
На доске примеры:
49+203+301+17
40+29+125+231
99+85+105+201
Учитель: - Проводим игру «Лучший счетчик».
(От каждого ряда выходят по одному ученику и становятся спиной к доске. Учитель показывает на пример. Учащиеся, сидящие за партой, устно решают его. По сигналу ученики хором говорят ответ. Стоящие у доски учащиеся одновременно поворачиваются лицом к примерам и находят тот пример, ответ которого был назван. Выигрывает тот, кто первым указал правильный пример.)
Молодцы!
3. Определение темы урока. Постановка учебных задач.
Учитель:- Какова особенность данных примеров?
Ученики:- Все примеры на сложение.
Учитель:- Вызвали ли какие-нибудь из них затруднения?
Учитель: - Попробуйте определить тему урока.
(Варианты ответов: Сложение. Сложение в более трудных случаях. Новый прием сложения.)
Учитель: - Тема урока «Сумма трёх и более слагаемых».
Учитель: - Предположите чему будем учиться?
(Варианты ответов.)
Учитель: (На экране)
Цель:
а) узнать способ сложения трёх и более слагаемых
б) научиться выполнять сложение чисел удобным способом
4. Работа по теме урока:
1) подготовительная
Откройте рабочие тетради на с. 37, выполните № 000.
Что нужно сделать?
Какой вывод можем сделать? (от перестановки слагаемых значение суммы не изменяется)
НА ДОСКЕ ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНОЕ СВОЙСТВО СЛОЖЕНИЯ (карточка)
Учитель: - выполните № 000.
Что нужно сделать?
Прочитайте, что у вас получилось.
Какой вывод можем сделать? (слагаемые можем группировать)
НА ДОСКЕ СОЧЕТАТЕЛЬНОЕ СВОЙСТВО СЛОЖЕНИЯ (карточка)
Учитель: - выполните № 000.
Что нужно сделать?
Прочитайте, что у вас получилось.
Какой вывод можем сделать? (выражения со скобками можем записать без скобок, но при условии, что данное выражение - сумма)
НА ДОСКЕ ВЫРАЖЕНИЯ СО СКОБКАМИ (СУММА) (карточка)
Учитель: - Закройте рабочие тетради, откройте учебники на стр. 84 и скажите, какими свойствами сложения пользовались Волк и Заяц, выполняя записи?
Учитель: - А теперь поработайте в парах, выполните такие же записи для выражения
(8+3)+2 (НА ЭКРАНЕ) как Волк и Заяц
НА ЭКРАНЕ - Проверьте, у всех ли получились такие записи:
Какие свойства сложения вы применили? (переместит. и сочетат.)
Для чего нам это нужно? (чтобы быстрее и правильно решать примеры, 8+2=10, а к 10 удобнее прибавлять любые числа, вы не ошибётесь).
Учитель: - При выполнении любого задания, мы должны искать рациональный, т. е. удобный способ решения.
Учитель: - Вернемся к нашим примерам (снова выставляется карточка с примерами).
- Опираясь на выводы, которые мы с вами сделали, предложите варианты решения.
2) «открытие» нового знания
Дети работают у доски с объяснением (КАКИЕ СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ ИСПОЛЬЗУЮТ) (ост. в тетр)
49+203+301+17
40+29+125+231
99+85+105+201
ВЫВОД: ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНОЕ И СОЧЕТАТЕЛЬНОЕ СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ ДАЮТ ВОЗМОЖНОСТЬ ЗАПИСЫВАТЬ ВЫРАЖЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ТОЛЬКО СЛОЖЕНИЕ, БЕЗ СКОБОК И ВЫПОЛНЯТЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ В ЛЮБОМ ПОРЯДКЕ.
3) конкретизация нового способа действий; первичное закрепление
Учитель:- Что еще нужно сделать, чтобы научиться выполнять сложение нескольких слагаемых?
Ученики:- Попробовать решить пример практически.
Учитель: - А где можно взять еще примеры для тренировки?
Ученики: - В учебнике.
Учитель: - Работаем по учебнику.
Ученики открывают учебники, находят страницу (с.84) №3. Работа у доски
ПРОГОВАРИВАЮТ КАКИЕ СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ ИСПОЛЬЗУЮТ И ДЕЛАЮТ ВЫВОД: ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНОЕ И СОЧЕТАТЕЛЬНОЕ СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ ДАЮТ ВОЗМОЖНОСТЬ ЗАПИСЫВАТЬ ВЫРАЖЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ТОЛЬКО СЛОЖЕНИЕ, БЕЗ СКОБОК И ВЫПОЛНЯТЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ В ЛЮБОМ ПОРЯДКЕ.
4) самостоятельная
- Кто считает, что научился выполнять примеры данного типа, поднимите руку? Почему вы так считаете?
(Варианты ответов.)
Учитель: - Как вы могли бы проверить, действительно ли умеете решать подобные примеры?
Ученики: - Выполнить самостоятельно работу.
Учитель:- Проверьте, как хорошо вы научились. Выполняем №5 на стр. 85 сам-но
Учитель:- Не забудьте проверить свою работу.
Учитель:- а теперь поменяйтесь тетрадями и проверьте работу соседа (НА ЭКРАНЕ 149+301+203= (149+301)+203=450+203=653
340+129+231= 340+(129+231)=340+360=700
199+185+201=(199+201)+185=400+185=585
125+392+75=(125+75)+392=200+392=592
Какой вывод можем сделать?
ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНОЕ И СОЧЕТАТЕЛЬНОЕ СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ ДАЮТ ВОЗМОЖНОСТЬ ЗАПИСЫВАТЬ ВЫРАЖЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ТОЛЬКО СЛОЖЕНИЕ, БЕЗ СКОБОК И ВЫПОЛНЯТЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ В ЛЮБОМ ПОРЯДКЕ.
Пригодятся нам знания, полученные на уроке? Когда?
Физминутка
5. Повторение пройденного: решение задач
Учитель:- Прочитайте № 13 на стр. 86
Прочитайте задачу. - О ком в ней говорится? Что вы знаете о мальчиках?
Прочитайте вопрос задачи. Можем мы сразу на него ответить? Почему?
Работа в парах. – Перед вами лежит таблица - краткое условие к данной задаче, которая поможет вам при решении. Что должно быть в кратком условии? (все данные и вопрос). Заполните таблицу сообща.
ПРОВЕРИТЕ. (НА ЭКРАНЕ)
Учитель: - Запишите в тетрадь решение задачи.
Учитель: - Сравните свою работу с работой товарища. (Взаимопроверка.)
Запись у доски одним учеником.
Работа в рабочей тетради № 000,131
6. Итог урока. Рефлексия.
Учитель:- Какую тему изучали на этом уроке?
Ученики: - Сумма трёх и более слагаемых.
Учитель: - Что особенно удалось? (Варианты ответов.)
Учитель: - На каком этапе испытывали затруднение? Почему было трудно? (Варианты ответов.)
Учитель: - Попробуйте оценить свою работу; работу класса. (Варианты ответов)
Учитель: - Над чем хотелось бы еще поработать? (Варианты ответов.)
Учитель: - Благодарю всех за активную работу на уроке. Сегодня вам на помощь не раз приходила пытливость и смекалка. Всегда помните «Учиться - всегда пригодиться» (Пословица вывешивается на доску.)
7. Домашнее задание
Учитель: - Советую дома закрепить изученный материал, для этого в рабочих тетрадях выполните № 000,135 . (Записывают задание в дневник.) Дополнительно, кто желает учебник - №8, стр. 85.
После того как усвоено письменное сложение трехзначных чисел, сложение многозначных чисел не представляет для детей большой трудности. Однако необходимо проделать значительное количество упражнений, чтобы добиться безошибочного выполнения их.
Организуя упражнения, нужно предусмотреть различные варианты примеров на сложение: примеры без перехода и с переходом через разряд, примеры с одинаковым и разным количеством цифр в слагаемых, примеры, в которых первое слагаемое больше второго и наоборот, примеры без нулей и с нулями в слагаемых. Разнообразие примеров нужно не только для предупреждения ошибок, но и для формирования понятия сложения: применяя в разнообразных случаях сложения один и тот же способ решения, ученик начинает глубже понимать основной принцип сложения — его поразрядность.
Среди различных вариантов примеров большое место должно занимать сложение нескольких слагаемых. Подписывая слагаемые одно под другим, ученик вынужден анализировать структуру чисел, определять разрядное значение каждой цифры, приводить в соответствие одноименные разряды. Все это обогащает навык сложения. При суммировании разрядных чисел получаются суммы, выходящие за пределы таблицы сложения. Благодаря этому при сложении нескольких слагаемых закрепляются навыки устного сложения.
Приступая к объяснению сложения многозначных чисел, нужно прежде всего распространить имеющийся у детей навык сложения трехзначных чисел на любые числа, показав учащимся, что если 8 единиц да 5 единиц составляют 13 единиц, то 8 тысяч да 5 тысяч составляют 13 тысяч, 8 миллионов да 5 миллионов составляют 13 миллионов и т.д.
Письменное сложение, как известно, выполняется по определенному правилу, которое должно быть сообщено детям для того, чтобы они строго соблюдали его. Когда дается объяснение и проводятся первые упражнения, учитель, а вслед за ним и ученики называют разряды чисел и подробно поясняют каждую операцию, а в дальнейшем, когда переходят к упражнениям, направленным на автоматизацию навыка, от учеников требуют только краткие пояснения.
Чтобы сделать упражнения разнообразными и тем самым повысить у детей интерес к ним, полезно разнообразить не только материал, но и задания, предлагая ученикам «Сложить числа», «Выполнить действие», «Сравнить суммы», «Проверить равенство» и др. Например:
- Сравнить следующие суммы: 5489 + 13873 и 4378 + 10874.
- Проверить равенство: 6758 + 9870 = 10680 + 5498.
- Проверить, верно ли следующее неравенство: 28756 + 295064 > 36094 + 258506.
Выполнение таких заданий полезно для математического развития детей . При формировании навыков письменного сложения многозначных чисел применяют переместительный и сочетательный законы сложения. Переместительный закон сложения уже известен детям; теперь ученики должны усвоить его точную формулировку, используя для проверки сложения, для "рациональной записи сложения нескольких слагаемых (столбиком), для облегчения и ускорения устных вычислений.
Сочетательный закон сложения полезно рассмотреть в плане его практического применения. Учащимся дается для сложения несколько слагаемых и предлагается отыскать наиболее рациональный способ решения. В своих поисках ученики приходят к выводу о возможности группировки слагаемых, заменяя сложение нескольких слагаемых их суммой.
Даются задания: сравнить следующие суммы: 120 + 50 + 30 и 120 + 80; 380 + 50 + 70 и 380. + (50 + 70).
Почему между этими суммами можно поставить знак равенства?
Однако, используя эти законы главным образом для практических целей, не следует упускать возможности использования их для обобщений и для математического развития учащихся. В этих целях полезны упражнения, раскрывающие глубину и большую общность их применения.
Этому способствует работа над такими примерно вопросами:
- Почему 9 + 6 = 6 + 9?
- Какое свойство сложения выражают следующие равенства:
а) 64 + 28 = 28 + 64
б) а + Ь = Ь + а - Какие числа надо подставить вместо X, чтобы были верны следующие равенства:
а) X + 72 = 72 + 32
б) 26 + X = X + 26 - Чему равна сумма 2489 + априа = 13076?
- Покажите сначала на числах, а потом и на буквах переместительное свойство сложения.
Аналогичные вопросы решаются и по отношению к сочетательному закону сложения :
- Почему 16 + 12 + 8 = 16 + (12 + 8)?
- Что означает запись: 94 + 6 + 12 + 88 = (94 + 6) + (12 + 88)?
- Как удобнее и легче вычислить сумму: 75 + 84 + 16?
- Напишите пример, из которого видно, что при сложении полезно группировать слагаемые.
Такой разносторонний подход к данным законам обеспечит достаточно глубокое понимание их общности и условий их практического применения.
Способы устных вычислений
Устные приемы сложения и вычитания многозначных чисел изучаются в 4 классе четырехлетней начальной школы в следующем порядке:
1. Нумерационные случаи
а) Случаи вида:
99 999 + 1 345 000 - 1 560 999 + 1
560 000 - 1 399 999 + 1 40 000 - 1
При выполнении вычислений данного вида ссылаются на принцип построения натурального ряда чисел: добавление к числу единицы дает число, следующее по счету; вычитание единицы дает число, предшествующее по счету.
Например: 399 999 + 1 - добавляя к числу 1, получаем число следующее. Следующее за числом 399 999 число 400 000, значит 399 999 + 1 =400 000.
б) Случаи вида:
30 000 + 1 000 650 999 - 900 600 000 + 5
60 345 - 5 345 000 - 45 000 800 700 + 1 000
При выполнении вычислений данного вида ребенок должен хорошо знать принцип поразрядного строения чисел в десятичной системе счисления.
650 999 - 900 - 650 099
2. Сложение и вычитание целых тысяч
Сложение и вычитание вида 32 000 + 2 000, 690 000 - 50 000 является первым вычислительным приемом, с которого начинается формирование устных вычислений в объеме многозначных чисел.
Для освоения этого приема ребенок должен хорошо представлять разрядный состав многозначного числа. Рассматривая 32 000 как 32 тыс. и 2 000 как 2 тыс., прием 32 000 + 2 000 вычисляется, как 32 тыс. + 2 тыс. Ответ 34 тыс. затем рассматривается, как 34 000 и записывается результат вычислений. Таким образом, действия целыми тысячами рассматриваются как действия разрядными единицами, вычисления в этом случае сводятся к табличным вычислениям в пределах 10, 20 пли 100.
3. Сложение и вычитание целых тысяч на основе правил арифметических действий
Учебник математики для 4 класса практически не предлагает вычислений соответствующего вида, однако учителя часто используют их на устном счете.
К этим случаям относятся вычисления вида: 70 200 + 400, 600 100 - 99, 3 008 + 351,425 100 - 24 100 и т. п.
При вычислениях используется знание десятичного состава многозначных чисел и понимание того, что во всех случаях действия затрагивают только часть первого числа (первое число может рассматриваться как сумма). Таким образом действия могут выполняться только с частью первого числа.
Например:
Вычисляя сумму 70 200 + 400, можно отдельно сложить 400 и 200, а затем их сумму прибавить к числу 70 000. Фактически используется правило прибавления числа к сумме.
При выполнении вычислений в случае 425 100 - 24 100 используется правило вычитания числа из суммы. 425 100 рассматривается, как сумма 400 000 и 25 100. Из одного из слагаемых вычитается 24 100 (25 100 - 24 100 = 1 000), и полученный результат складывается с первым слагаемым: 400 000 + 1 000 = 401 000.
В основе всех этих случаев лежит хорошее знание разрядного состава многозначных чисел и умение выполнять устные вычисления целыми разрядами.
Способы письменных вычислений (в столбик)
Письменные приемы сложения и вычитания являются основными вычислительными действиями при вычислениях в объеме многозначных чисел, поскольку вычисления в уме с многозначными числами представляют собой слишком сложную проблему для всех детей. Использование письменных алгоритмов вычислений в этих условиях является психологически и методически оправданным.
Усвоение детьми нумерации четырехзначных и многозначных чисел позволяет им осуществить перенос умения складывать и вычитать числа «столбиком» из области трехзначных чисел на область многозначных чисел.
При знакомстве с письменными приемами сложения и вычитания в объеме многозначных чисел проводится аналогия с алгоритмом письменного сложения и вычитания в пределах 1000:
1) Письменное сложение и вычитание любых многозначных чисел выполняется так же, как сложение и вычитание трехзначных чисел.
2) При записи столбиком, как и при сложении трехзначных чисел следует записывать разряд под соответствующим разрядом, и складывать сначала единицы, потом десятки, а потом сотни, потом тысячи и т. д. (справа налево).
Считается, что дети хорошо научены выполнять действия сложения и вычитания в столбик, поэтому в учебнике 4 класса не предусмотрено распределение случаев сложения и вычитания по уровням сложности.
Первыми рассматриваются различные случаи с переходами через разряд как при сложении так и при вычитании: 3 126 + 4 232; 25 346 - 13 407.
Затем рассматриваются случаи вычитания с нулями в уменьшаемом:
600 - 25; 1 000 - 124; 30 007 - 648.
Эти случаи являются наиболее сложными, поскольку требуют «заема» разрядных единиц не из соседних, а из далеко отстоящих разрядов. Эти случаи полезно сначала сопровождать подробной пояснительной записью на доске, чтобы дети понимали и видели, откуда появляются девятки в «пустых» разрядах.
Например:
30 007 Вычитаю единицы. Из 7 нельзя вычесть 8. 648 Пробую занять единицу в соседнем разряде.
В разряде десятков, сотен и тысяч нет разрядных единиц, поэтому «заем» возможно произвести только из разряда десятков тысяч: 30 тыс. - 1 тыс. = 29 тыс. Подписываем 29 над 30.
«Занятую» тысячу представляем в виде суммы 1 тыс. = 1000 = = 990 + 10.
Подписываем над разрядами сотен и десятков девятки, а из 10 единиц вычитаем 8, получаем 2 единицы. Но в разряде единиц было 7 единиц. Добавляем их к полученным 2 единицам и пишем в разряде единиц 9.
Вычитаем: 9 дес. - 4 дес. = 5 дес. Пишем 5 в разряде десятков. 9 сот. - 6 сот. = 3 сот. Пишем 3 в разряде сотен.
От десятков тысяч осталось 29 тыс. Пишем 9 в разряде тысяч, 2 - в разряде десятков тысяч.
При изучении сложения и вычитания многозначных чисел рекомендуется повторять и закреплять названия компонентов и результатов действий; свойства нахождения неизвестных компонентов действий при проверке результатов вычислений; рассматривать закономерности изменения суммы и разности при изменении одного из компонентов действий.
Многие дети используют калькуляторы как при выполнении вычислений с многозначными числами, так и при проверке результатов. В старших классах не возбраняется использовать калькуляторы при необходимости выполнить громоздкие вычисления (на уроках физики, химии, геометрии).
Чтобы стимулировать ребенка к использованию умения самостоятельно вычислять в столбик, следует предлагать задания, не позволяющие механического использования калькулятора для вычисления результата. Это различные задания на нахождение ошибки в записях или цифрах вычислений, на прикидку округленных результатов вычислений, на восстановление пропущенных цифр в компонентах действий, на выбор верных ответов из предложенных и т. п. Учителю следует помнить, что механический характер вычислительных действий при вычислениях с многозначными числами быстро приводит к утомлению детей, что провоцирует появление ошибок. Поэтому не стоит задавать подряд больше трех примеров на вычисления с многозначными числами.
Лекция 10. Умножение
1. Смысл действия умножения.
2. Табличное умножение.
3. Приемы запоминания таблицы умножения.
Смысл действия умножения
Действие умножения рассматривается как суммирование одинаковых слагаемых.
По определению умножение целых неотрицательных чисел (натуральных) - это действие, выполняющееся по следующим правилам:
а b = a+ a+ a+ a+ a ...+ а, при b > 1
b слагаемых
а 1 = а, при b = 1
а 0 = 0, при b = 0
Использование символики умножения позволяет сократить запись сложения одинаковых слагаемых.
Запись вида 2-4 = 8 подразумевает сокращение записи вида 2 + 2 + 2 + 2 = 8. Ее читают так: «по 2 взять 4 раза, получится 8»; или: «2 умножить на 4 получится 8».
Действие умножения во всех учебниках математики для начальных классов рассматривают ранее действия деления.
С теоретико-множественной точки зрения умножению соответствуют такие предметные действия с совокупностями (множествами, группами предметов) как объединение равных (равночисленных) совокупностей. Поэтому, прежде, чем знакомиться с символикой записи действий и вычислениями результатов действий, ребенок должен научиться моделировать на предметных совокупностях все эти ситуации, понимать (т. е. правильно представлять) их со слов учителя, уметь показывать руками как процесс, так и результат предметного действия, а затем характеризовать их словесно.
Виды заданий, которые предлагаются детям до знакомства с символикой действия умножения (в 1 и 2 классе):
1. Посчитай двойками (тройками, пятерками).
2. Нарисуй рисунок: «На трех тарелках по 2 апельсина». Сосчитай, сколько всего апельсинов.
3. Найди лишнюю запись:
Найди значение каждого выражения наиболее удобным способом.
4. Сделай запись выражения по рисунку:
Виды заданий, используемых для усвоения ребенком смысла умножения при знакомстве с этим действием:
а) На соотнесение рисунка и математической записи:
Рассмотри рисунок и объясни записи:
2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10и2.5 = 10 5 + 5= 10и5-2= 10
4 + 4 + 4 = 12 4-3=12
б) На нахождение суммы одинаковых слагаемых: Рассмотри рисунки и закончи записи:
в) На замену сложения умножением:
Замени, где возможно сложение умножением и вычисли результаты:
5+5+5+5 1+1+1+1+1 5+6+3
42 + 42 0 + 0+0 + 0 + 0 4 + 6 + 8
г) На понимание смысла определения действия умножения:
Рассмотри записи и объясни, какое число берется слагаемым и сколько раз берется слагаемым это число: 6-4 = 24 9-3 = ...
6 + 6 + 6 + 6 = 24 9 + 9 + 9 =...
Выражение вида 3 5 называют произведением. Числа 3 и 5 в этой записи называют сомножителями (множителями).
Запись вида 3 5 = 15 называют равенством. Число 15 называют значением выражения. Поскольку число 15 в данном случае получено в результате умножения, его также часто называют произведением.
Например:
Найдите произведение чисел 4 и 6. (Произведение чисел 4 и 6 - это 24.)
Поскольку названия компонентов действия умножения вводятся по соглашению (детям сообщаются эти названия и их необходимо запомнить), педагог активно использует задания, требующие распознавания компонентов действий и употребления их названий в речи.
Например:
1. Среди данных выражений найдите такие, в которых первый множитель равен 3 (второй множитель равен 2 и т. д.):
2-2 7-3 6-2 1.6 3-5 3-2 7-3 3-4 3-1
2. Составьте произведение, в котором второй множитель равен 5. Найдите его значение.
3. Выберите примеры, в которых произведение равно 6. Подчеркните их красным цветом. Выберите примеры, в которых произведение равно 12. Подчеркните их синим цветом.
7-3 6-1 2-2 2-3 6-2 3-2 2-6
4. Как называют число 4 в выражении 5 4? Как называют число 5? Найдите произведение. Составьте пример, в котором произведение равно тому же числу, а множители другие.
5. Множители 8 и 2. Найдите произведение.
В третьем классе дети знакомятся с правилом взаимосвязи компонентов умножения, которое является основой для обучения нахождению неизвестных компонентов умножения при решении уравнений:
Если произведение разделить на один множитель, то получится другой множитель.
Например:
Решите уравнение 6 * х = 24. (В уравнении неизвестен множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель. х= 24:6, х = 4.)
Однако, данное правило в учебнике математики 3 класса не является обобщением представлений ребенка о способах проверки действия умножения. Правило проверки результатов умножения рассматривается в учебнике намного позже - после знакомства с вне-табличным умножением и делением (знакомства с умножением и делением двузначных чисел на однозначные, не входящим в таблицу умножения и деления). Это объясняется тем, что правило взаимосвязи компонентов умножения является основой составления таблицы деления. Поскольку предполагается, что табличные случаи умножения ребенок к этому времени знает наизусть, то нет необходимости в проверке результатов. Есть только необходимость быстро восстанавливать (вспоминать) нужное третье число по двум данным.
Например:
9-2 = ... 5-4 = ... 1*7 = ...
18:2 = ... 20:4 = ... 7:7 = ...
При выполнении устного внетабличного умножения, требующего применения достаточно сложного алгоритма, необходима проверка, поскольку многие дети часто ошибаются в этих случаях.
Правило проверки действия умножения:
1) Произведение делят на множитель.
2) Сравнивают полученный результат с другим множителем. Если эти числа равны, умножение выполнено верно.
Например: 18 4 = 72. Проверка: 1) 72: 4 = 18; 2) 18 = 18.
Табличное умножение
Изучение таблицы умножения является центральной задачей обучения математике во 2 и 3 классе.
К табличному умножению относят случаи умножения однозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа, результаты которых находят на основе конкретного смысла действия умножения (находят суммы одинаковых слагаемых).
Результаты табличного умножения в соответствии с программными требованиями к знаниям, умениям и навыкам дети должны знать наизусть. Умножение с числом нуль, умножение с числами 1 и 10 относят к особым случаям.
Первые приемы составления таблиц умножения связаны со смыслом действия умножения (см. предыдущий пункт). Результаты этих таблиц получают последовательным сложением одинаковых слагаемых.
Например:
Расположенный рядом рисунок помогает ребенку получить результат пересчетом фигурок. При небольших значениях множителей прием сосчитывания для получения табличного значения произведения вполне приемлем, и учитель им часто пользуется при получении результатов таблиц значений умножения чисел 2, 3, 4. Приведенный пример показывает, что этот прием удобен лишь при небольших значениях второго множителя.
При значении второго множителя больше 5, удобнее использовать для получения результатов табличных значений другой прием: прием прибавления к предыдущему результату. Например:
Вычисли и запомни: 2-6 = 2.5 + 2 = ... 2-7 = 2.6 + 2 =... 2-8 = 2.7 + 2 2.9 = 2-8 + 2 =...
В учебнике математики для 2 класса этот прием дан более пространно, и поэтому не всегда правильно понимается с точки зрения техники выполнения:
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 2-7ит.п.
Аналогичным образом составляется таблица значений умножения числа 3.
Следующим приемом, на основе которого составляются таблицы значений умножения чисел, является прием перестановки множителей.
Этот прием фактически является первым математическим законом относительно действия умножения в начальной школе:
От перестановки множителей произведение не меняется.
Способ знакомства детей с этим правилом (законом) обусловлен ранее введенным смыслом действия умножения. Используя предметные модели множеств, дети сосчитывают результаты группировки их элементов разными способами, убеждаясь, что результаты не меняются от изменения способов группировки.
Например:
Счет элементов рисунка (множества) парами по горизонтали совпадает со счетом элементов тройками по вертикали. Рассмотрение нескольких вариантов подобных случаев дает учителю основание произвести индуктивное обобщение (т. е. обобщение нескольких частных случаев в обобщенном правиле) о том, что перестановка множителей не меняет значение произведения.
На основе этого правила, используемого как прием счета, составляется таблица умножения на 2.
Например:
Используя таблицу умножения числа 2, вычисли и запомни таблицу умножения на 2:
2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 =
На основе этого же приема составляется таблица умножения на 3:
3-4 = 12 3-7 = 21 4-3 = ... 7-3=...
3-5= 15 3-8 = 24 5-3 = ... 8-3 = ...
3-6 = 18 3-9 = 27 6-3=... 9-3 = ...
Составление двух первых таблиц распределяется на два урока, что соответственно увеличивает время, отведенное на их заучивание. Каждая из двух последних таблиц составляется на одном уроке, поскольку предполагается, что дети, зная исходную таблицу, не должны отдельно заучивать результаты таблиц, полученных с помощью перестановки множителей. На самом деле, многие дети учат каждую таблицу отдельно, поскольку недостаточный уровень развития гибкости мышления не позволяет им легко перестроить модель заученной схемы табличного случая в обратном порядке. При вычислении случаев вида 9 2 или 8 3 дети снова возвращаются к приему последовательного сложения, что естественно требует времени для получения результата. Такая ситуация порождается скорее всего тем, что для значительного числа детей такое разнесение во времени взаимосвязанных случаев умножения (тех, что связаны правилом перестановки множителей) не позволяет сформироваться ассоциативной цепочке, ориентированной именно на взаимосвязь. Та же ситуация прослеживалась у ряда детей при применении свойства перестановки слагаемых для составления таблиц сложения: запомнив случай 3 + 5, такой ребенок учит отдельно случай 5 + 3, поскольку требование выучить этот случай поступает от учителя через 16 уроков после требования заучить первый, и при этом в промежутке заучивалась таблица вида □ + 4, □ - 4. Иными словами, отсрочка в образовании ассоциативной связи, ориентированной на взаимосвязь этих случаев, оказалась для ребенка слишком большой, что помешало образованию такой связи. Поэтому каждый случай из фактически взаимосвязанной пары учится ребенком наизусть отдельно.
При составлении таблицы умножения числа 5 в 3 классе, только первое произведение получают путем сложения одинаковых слагаемых: 5-5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 25. Остальные случаи получают приемом прибавления пяти к предыдущему результату:
5-6 = 5- 5 + 5 = 30 5-7 = 5-6 + 5 = 35 5-8 = 5-7 + 5 = 40 5-9 = 5- 8 + 5 = 45
Одновременно с этой таблицей составляется и взаимосвязанная с ней таблица умножения на 5: 6 5; 7 5; 8 5; 9 5.
Таблица умножения числа 6 содержит четыре случая: 6 6; 6 7; 6-8; 6-9.
Таблица умножения на 6 содержит три случая: 7 6; 8 6; 9 6.
Таблица умножения числа 7 содержит три случая: 7 7; 7 8; 7 9.
Таблица умножения на 7 содержит два случая: 8 7; 9 7.
Таблица умножения числа 8 содержит два случая: 8 8; 8 9.
Таблица умножения на 8 содержит один случай: 9 8.
Таблица умножения числа 9 содержит, только один случай: 9 9.
Теоретический подход к подобному построению системы изучения табличного умножения предполагает, что именно в таком соответствии ребенок и будет запоминать случаи табличного умножения.
Наибольшее количество случаев содержит наиболее легкая для запоминания таблица умножения числа 2, а наиболее трудная для запоминания таблица умножения числа 9 содержит всего один случай. Реально, рассматривая каждую новую «порцию» таблицы умножения, учитель обычно восстанавливает весь объем каждой таблицы (все случаи). Даже при условии, что учитель обращает внимание детей на то, что новым случаем на данном уроке является, например, только случай 9 9 , а 9 8 , 9 7 и т. п. изучались на предыдущих уроках, большая часть детей воспринимает весь предложенный объем как материал для нового заучивания. Таким образом, фактически, для многих детей таблица умножения числа 9 является самой большой и сложной (а это действительно так, если иметь в виду перечень всех случаев, который к ней относится).
Большой объем материала, требующего заучивания наизусть, сложность в образовании ассоциативных связей при запоминании взаимосвязанных случаев, необходимость достижения всеми детьми прочного запоминания всех табличных случаев наизусть в установленные программой сроки - все это делает тему изучения табличного умножения в начальных классах одной из наиболее методически сложных. В связи с этим важными являются вопросы, связанные с приемами запоминания ребенком таблицы умножения.
Проблемное обучение
Тема: «Сложение многозначных чисел»
Цель: формирование навыка сложения многозначных чисел.
Задачи:
- отработка навыков сложения многозначных чисел;
Закреплять умение решать задачи разного вида;
Закреплять знания правил о порядке выполнения действий и умение
Записывать выражения в два действия.
Планируемые результаты:
Предметные умения:
Уметь упорядочивать натуральные многозначные числа;
Уметь называть компоненты четырёх арифметических действий;
Уметь складывать многозначные числа и использовать соответствующие термины;
Уметь называть разряды.
Личностные УУД:
Принятие образа «хорошего ученика»;
Уважительное отношение к иному мнению;
Способность преодолевать трудности, доводить начатую работу до её завершения.
Регулятивные УУД:
Определять и формулировать цель деятельности на уроке;
Проговаривать последовательность действий на уроке; работать по алгоритму, инструкции;
Осуществлять пошаговый контроль при решении учебной задачи;
Устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом.
Познавательные УУД:
Ориентироваться в учебнике, тетради;
Ориентироваться в своей системе знаний (определять границы знания/незнания);
Находить ответы на вопросы, используя свой жизненный опыт.
Коммуникативные УУД:
Слушать и понимать речь других;
- уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Ход урока:
Орг. момент. (Приветствие).
Математику, друзья,
Не любить никак нельзя,
Очень строгая наука,
Очень точная наука,
Интересная наука –
Это МАТЕМАТИКА!
Актуализация знаний. ( Комбинированный этап. )
ФАЗА ВЫЗОВА.
Спешу скорее встать,
Потом ищу я целый день,
У каждого на парте лежит листок с заданиями. Выполните его.
(На столе карточка с примерами: ( 48+37; 56+85; 528+165; 253+614; 208+549)
(Один ученик идет к доске и работает у доски. На доске записаны примеры, ему надо их решить.)
Проверим ученика у доски и себя. (85, 141, 688, 867, 757)
Как складывали числа? (письменно, по разрядам)
Объясните свои действия, используя алгоритм сложения двузначных и трёхзначных чисел (записывали единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями; складывали сначала единицы и записывали под единицами, потом складывали десятки и записывали под десятками; затем складывали сотни и записывали под сотнями).
Как называется такой способ сложения? (поразрядное сложение)
Создание проблемной ситуации.
А сейчас работаем в парах: вам необходимо решить вот эти примеры у себя в тетрадях (записаны на доске четыре примера): 1253+2614; 36208+54926; 4758+324; 2267+9841.
Какие ответы у вас получились? (Дети называют свои ответы и выясняют, что ответы у многих разные, так как примеры вызвали затруднение.)
Как можно проверить правильность ответов? (Дети высказывают различные предположения, пытаются выделить среди них верный и приходят к выводу, что не могут сделать этого, так как не знают, какой из предложенных алгоритмов действий верный.)
Формулирование проблемы (темы).
Какой у вас возникает вопрос? (Как складывать четырёхзначные и пятизначные числа.)
Как одним словом можем назвать трёхзначные, четырёхзначные, пятизначные числа? (Многозначные.)
Какая же будет тема урока? Кто может её сформулировать? (« Сложение многозначных чисел» )
Открытие детьми нового знания и его формулирование. (Работа по учебнику в тетради.)
ФАЗА ОСМЫСЛЕНИЯ.
Откройте учебник на с. 27, № 90. Прочитайте задание. Как предлагают нам выполнить это задание в учебнике? (Предлагают использовать способ поразрядного сложения)
А что надо сделать для этого? (Вспомнить алгоритм поразрядного сложения трёхзначных чисел: записываем разряд под разрядом; складывать надо по разрядам, начиная с единиц: и т. д.)
Сформулируйте алгоритм сложения многозначных чисел.
Чем он похож и чем отличается от алгоритма сложения трёхзначных чисел?
(Выслушиваются мнения детей)
Первичное применение нового знания.
Выполните задание № 91 в учебнике. (Один ученик выходит к доске и комментирует свои действия при решении примеров)
Чтобы узнать, чем мы будем заниматься дальше, надо отгадать шараду.
(На доске шарада: предлог ЗА и картинка «дачи» .)
- Первое – предлог,
Второе – летний дом.
А целое порой
Решается с трудом.
( ЗАДАЧА ) (Эта надпись появляется на доске.)
А сейчас у нас задачи:
Сложные, простые.
Мы берем с собой удачу,
Чтобы потрудиться!
1. - Откройте учебник на с.28, з.98. Прочитает задачу …
Что известно по условию задачи? (После того как из кассы выдали 128509 рублей, в ней осталось 14902 рубля)
Что надо найти? (Сколько денег было в кассе.)
Какую краткую запись мы можем составить? (Было. Выдали. Осталось.)
К доске пойдет …, заполнит краткую запись.
Что неизвестно? (Было.)
Как найти? (Чтобы найти сколько было , надо к тому что осталось прибавить, то что выдали. )
Какого вида задача?
Запишем в тетради. (Комментировать будет…)
Составьте две обратных задачи устно.
2. – С.28, з.96. Прочитайте задачу.
Что известно по условию задачи?
Что нужно узнать?
Запишите решение задачи самостоятельно в тетрадь.
ПРОВЕРКА.
Какой ответ у вас получился
Физминутка.
Раз – присели, два – привстали,
Три – нагнулись и достали
Правою рукой носок,
Левой – потолок.
А потом – наоборот.
И тихонько сели.
3. – С.29, з.102. Прочитайте задачу.
Что известно по условию задачи? (Поле прямоугольной формы имеет длину 850 м, а ширину 625 м)
Что надо узнать? (Периметр поля)
У каждого на столе лежит карточка – помощница.
Вы должны заполнить карточки самостоятельно. (Я напишу на доске.)
ПРОВЕРКА у доски.
ИНДИВИДУАЛЬНАЯ РАБОТА.
Кто может решить задачу сразу?
Приступайте к решению, а кому сложно работает с учителем.
Работа с выражениями. (Групповая работа.)
ФАЗА РЕФЛЕКСИИ.
- кто может составить выражения к нашей задаче по любому из предложенных способов?
1. (850+625) 2 = 2550(км)
2. 850 2 + 625 2 = 2550(км)
3. 850 + 625 + 850 + 625 = 2550 (км)
(Выходят к доске те дети, которые желают.)
(Выполняется ПРОВЕРКА.)
Выберите любой из удобных для вас способов и запишите в тетрадь.
Ребята, я сегодня очень торопилась на урок, несла вам карточки с выражениями, но споткнулась и выронила их. Карточки рассыпались. Теперь мне необходима ваша помощь. Будем работать в группах.
Раздаю карточки с числами и знаками группам из 5 – 6 человек.
- (, +, :,), 27, 15, 7, = (27+15):7 = 6
19, (, 9,), +, =, 4, : (19+9):4 = 7
37, -, :, 24, 3, = 37-24:3 = 29
- +, :, 22, =, 36, 4 22+36:4 = 31
ЗАДАЧА этапа: Каждая группа должна составить выражение.
Ответственный из каждой группы выходит к доске со своим выражением, выполняется проверка.
В чем была трудность?
Итог урока.
1. Что самое важное было для вас на уроке?
2. Какие цели ставили в начале урока?
3. Достигнуты ли они?
4. Чему научились на этом уроке?
5. Какое знание получили на уроке ?
6. Чему бы вы хотели посвятить следующий урок?
Домашнее задание. (По выбору.)
Рис. 1. Классы и разряды числа
Назовем количество единиц в каждом разряде на примере некоторых чисел.
72439 - в этом числе девять единиц, три десятка, четыре сотни, две единицы тысяч, семь десятков тысяч.
Число 25346 содержит шесть единиц, четыре десятка, три сотни, пять единиц тысяч и два десятка тысяч.
Назовите количество единиц каждого разряда на примере числа 3126 . Проверяем: шесть единиц, два десятка, одна сотня, три единицы тысяч.
Давайте вместе заполним пропуски (см. рис. 2).
|
|
Рис. 2. Иллюстрация к задаче
1 десяток = 10 единиц
1 сотня = 10 десятков
1 тысяча = 10 сотен
1 десяток тысяч = 10 единиц тысяч
1 сотня тысяч = 10 десятков тысяч
1 миллион = 10 сотен тысяч
Цель нашего урока - научиться выполнять письменные сложения и вычитания многозначных чисел. Вы уже умеете выполнять сложение и вычитание трехзначных чисел столбиком. Сложение и вычитание многозначных чисел выполняется точно так же.
Сравним два столбика вычислений (см. рис. 3).
|
|
Рис. 3. Сложение многозначных чисел столбиком
Вы заметили, что справа появился новый разряд, разряд единицы тысяч. Объясним, как выполнены вычисления: 6 единиц + 2 единицы = 8 единиц.
Затем складываем десятки: 2 десятка + 9 десятков = 11 десятков. 11 десятков - это 1 десяток и 1 сотня. Сотню прибавим к сотням. 1 сотня + 2 сотни = 3 сотни, но мы еще добавили одну, поэтому под сотнями пишем 4. Вычисляем единицы тысяч: 3 тысячи + 4 тысячи = 7 тысяч. Итак, ответ: 7418.
Рассмотрим вычитание (см. рис. 4).
|
|
Рис. 4. Вычитание многозначных чисел столбиком
Сравните два столбика вычислений. Справа появился разряд единицы тысяч и десятки тысяч. Объясним, как выполнено вычитание. Из 6 единиц вычесть 7 нельзя, поэтому займем один десяток из предыдущего разряда: 16 - 7 = 9, записываем 9 под единицами. Вычисляем десятки: 4 - 0 = 4, но один десяток мы заняли, поэтому записываем 3. Вычитаем сотни. Из 3 сотен 4 сотни вычесть нельзя, поэтому занимаем одну единицу тысяч, это 10 сотен, 13 сотен - 4 сотни = 9 сотен. Вычитаем единицы тысяч. Мы заняли одну единицу тысяч, поэтому вычитаем 4 - 3 = 1. Два переписываем, так как отсутствует разряд десятки тысяч. Ответ: 21939.
Задание 1. Выполнить вычисление, записывая решение столбиком: 528047+106875. И выполнить проверку сложения с помощью вычитания.
Объясним, как выполнили сложение многозначных чисел: 7 единиц + 5 единиц =12. 12 - это 2 единицы и 1 десяток. Под единицами записываем 2, а десяток прибавим к десяткам. Вычисляем десятки: 4 десятка + 7 десятков = 11 десятков, и 1 десяток добавили, получилось 12 десятков. Под десятками пишем 2, а одну сотню добавим к сотням. Вычисляем сотни: 0 + 8 = 8, но одну сотню добавили, поэтому под сотнями записали 9. Найдем количество единиц тысяч: 8 + 6 = 14. 14 единиц тысяч - это 4 единицы тысяч и 1 десяток тысяч, записываем к десяткам. Считаем десятки тысяч: 2 десятка тысяч + 0 и 1 десяток тысяч добавили, получили 3 десятка тысяч. Складываем сотни тысяч: 5 + 1 = 6.
Читаем ответ: 634922 (шестьсот тридцать четыре тысячи девятьсот двадцать два) (см. рис. 5).
|
|
Рис. 5. Иллюстрация к заданию 1
Чтобы выполнить проверку, вычтем из значения сумы одно из слагаемых. Объясним, как выполнено вычитание: из 2 вычесть 7 нельзя, поэтому займем 1 десяток. 12 - 7 = 5. Вычисляем десятки: мы заняли 1 десяток, поэтому остался 1. Из 1 вычесть 4 нельзя, поэтому займем 1 сотню, 1 сотня - это 10 десятков. 11 - 4 = 7. Вычисляем сотни: так как мы заняли 1 сотню, то осталось 8. 8 - 0 = 8 сотен. Вычисляем единицы тысяч: из четырех восемь вычесть нельзя, поэтому занимаем 1 десяток тысяч. 14 - 8 = 6. Записываем под единицами тысяч. Вычисляем десятки тысяч. Один десяток мы заняли, осталось 2. 2 - 2 = 0. Вычисляем сотни тысяч: 6 - 5 = 1. Читаем ответ: 106875 (сто шесть тысяч восемьсот семьдесят пять) (см. рис. 6).
Рис. 7. Иллюстрация к заданию 2
Объясним, как выполнено вычитание: из 0 вычесть 6 нельзя, поэтому занимаем один десяток, 10 - 6 = 4. Осталось 5 десятков. Из 5 вычесть 7 нельзя, поэтому занимаем одну сотню, одна сотня - это 10 десятков. 15 - 7 = 8 десятков. Осталось 4 сотни. 4 сотни - 4 сотни = 0. Вычисляем единицы тысяч: 2 - 1 = 1. Вычисляем десятки тысяч: 2 - 2 = 0. 3 переписываем, так как разряд сотен тысяч в вычитаемом отсутствует. Читаем ответ: 301084 (триста одна тысяча восемьдесят четыре).
Для проверки вычитания сложением нужно к значению разности прибавить вычитаемое (см. рис. 8).
|
|
Рис. 8. Иллюстрация к заданию 2
Объясним, как выполнено сложение: 4 + 6 = 10, под единицами пишем 0, а десяток прибавляем к десяткам. Вычисляем десятки: 8 + 7 = 15 да 1 десяток добавили, получили 16 десятков. 6 пишем на месте десятков, а 1 сотню добавим к сотням. 0 + 4 = 4 да 1 сотня = 5 сотен. Вычисляем единицы тысяч: 1 + 1 = 2. Складываем десятки тысяч: 0 + 2 = 2. Переписываем сотни тысяч. Читаем результат: 322560 (триста двадцать две тысячи пятьсот шестьдесят).
Сравниваем с уменьшаемым и видим, что числа совпадают, значит, вычитание выполнено верно. Запишем результат: 301084 (триста одна тысяча восемьдесят четыре).
Решим математический ребус (см. рис. 9).
|
|
Рис. 9. Ребус
Определим, какие цифры в числах пропущены. Из 4 вычесть какое-то число и получить 9 невозможно, поэтому займем один десяток. Из 14 нужно вычесть 5, чтобы получить 9. Вычли 8 и получили 0. Значит, на месте десятков цифра 8, но один десяток заняли, поэтому пишем 9. Определяем количество сотен: из трех нужно вычесть два, чтобы получить один. Пишем на месте сотен 2 (см. рис. 10).
|
|
Рис. 10. Решение математического ребуса
Мы сегодня учились выполнять письменные сложения и вычитания многозначных чисел.
- Башмаков М.И. Нефёдова М.Г. Математика. 4 класс. М.: Астрель, 2009.
- М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др. Математика. 4 класс. Часть 1 из 2, 2011.
- Демидова Т. Е. Козлова С. А. Тонких А. П. Математика. 4 класс 2-е изд., испр. - М.: Баласс, 2013.
Д омашнее задание
1) Задание: запишите столбиком и решите.
2) Максимальная глубина океана 11 022 м. Вычисли разницу между глубиной океана и самой высокой точкой на Земле, если высота самой высокой горы в мире (Эверест) равна 8 848 м над уровнем моря.
3) Сорное растение василек дает 6680 семян в год, а такое растение, как ржаной костер, на 5260 меньше, полевой осот на 12 920 больше, чем василек. Сколько семян в год дают вместе эти растения?
