Отношения эквивалентности и порядка. Отношение эквивалентности Отношение является отношением эквивалентности если оно

Часто используют инфиксную форму записи: .

Если отношение определено на множестве, то возможно следующее определение:

Примерами множеств с введёнными на них бинарными отношениями являются графы и частично упорядоченные множества.

Для определены свойства:

Рефлексивность (англ. reflexivity ): ;

Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой: хRх. Если отношение рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется петля. И обратно, граф, каждая вершина которого содержит петлю, представляет собой граф рефлексивного отношения.

Примерами рефлексивных отношений являются и отношение «кратно» на множестве натуральных чисел (каждое число кратно самому себе), и отношение подобия треугольников (каждый треугольник подобен самому себе), и отношение «равенства» (каждое число равно самому себе) и др.

Антирефлексивность (англ. irreflexivity ): ;

Отношение R на множестве Х называется антирефлексивным , если для любого элемента из множества Х всегда ложно хRх:.

Симметричность (англ. symmetry ): ;

Отношение R на множестве Х называется симметричным , если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении с элементом y , следует, что и элемент y находится в отношении R с элементом х: xRyyRx .

Примерами симметричных отношений могут быть следующие: отношение «параллельности» отрезков, отношение «перпендикулярности» отрезков, отношение «равенства» отрезков, отношение подобия треугольников, отношение «равенства» дробей и др.

Антисимметричность (англ. antisymmetry ): ;

Отношение R называют антисимметричным , если для любых элементов х и y из истинности xRy следует ложность yRx: : xRyyRx.

Транзитивность (англ. transitivity ): ;

Отношение R на множестве Х называют транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом y, а элемент y находится в отношении R с элементом z , следует, что элемент х находится в отношении R с элементом z : xRy и yRzxRz.

Свойством транзитивности обладает и отношение «длиннее» на множестве отрезков: если отрезок а длиннее отрезка b , отрезок b длиннее отрезка с , то отрезок а длиннее отрезка с. Отношение «равенства» на множестве отрезков также обладает свойством транзитивности: (а=b, b=с)(а=с).

Связность (англ. connectivity ): ;

Отношение R на множестве Х называется связанным, если для любых элементов х и y из данного множества выполняется условие: если х и y различны, то либо х находится в отношении R с элементом y , либо элемент y находится в отношении R с элементом х . С помощью символов это определение можно записать так: xyxRy или yRx.

Например, свойством связанности обладает отношение «больше» для натуральных чисел: для любых различных чисел х и y можно утверждать, либо x>y, либо y>x.

Ассимметричность (англ. assymetric relation ): .

Выделяются следующие виды отношений:

квазипорядка (англ. quasiorder ) - рефлексивное транзитивное;

эквивалентности (англ. equivalence ) - рефлексивное симметричное транзитивное;

Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Примерами отношений эквивалентности могут служить: отношения равенства геометрических фигур, отношение параллельности прямых (при условии, что совпадающие прямые считаются параллельными).

В рассмотренном выше отношении «равенства дробей», множество Х разбилось на три подмножества: {; ; }, {; }, {}. Эти подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х , т.е. имеем разбиение множества на классы.

Итак, если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества – классы эквивалентности.

частичного порядка (англ. partial order ) - рефлексивное антисимметричное транзитивное;

Бинарное отношение на множественазывается отношением частичного порядка (англ. partial order relation

Рефлексивность (англ. reflexivity ): .

Антисимметричность (англ. antisymmetry ): еслии, то.

Транзитивность (англ. transitivity ): еслии, то.

«больше или равно» и «меньше или равно» - нестрогого, причем линейного порядка, но не полного.

Отношение «является делителем» на множестве натуральных чисел является отношением частичного порядка.

строгого порядка (англ. strict order ) - антирефлексивное антисимметричное транзитивное;

Бинарное отношение на множественазывается строгим отношением частичного порядка (англ. strict order relation ), если оно обладает следующими свойствами:

Антирефлексивность (англ. irreflexivity ): - не выполняется.

Антисимметричность (англ. antisymmetry ): еслии, то.

Транзитивность : (англ. transitivity ) еслии, то.

На множестве вещественных чисел отношения «больше» и «меньше» являются отношениями строгого порядка

линейного порядка (англ. total order ) - полное антисимметричное транзитивное;

Если отношение порядка обладает еще и свойством связанности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка. Например, отношение «меньше» на множестве натуральных чисел.

Бинарное отношение на множественазывается отношением линейного порядка (англ. total order relation ), если оно является отношением частичного порядка и обладает следующим свойством: либо, либо.

доминирования (англ. dominance ) - антирефлексивное антисимметричное.

толерантности

Отношением толерантности (или просто толерантностью) на множестве X называется бинарное отношение, удовлетворяющее свойствам рефлексивности и симметричности , но не обязательно являющееся транзитивным. Таким образом, отношение эквивалентности является частным случаем толерантности.

В отличие от отношения эквивалентности, дающего разбиение множества элементов, на котором оно определено, на непересекающиеся подмножества, отношение толерантности даёт покрытие этого множества. Отношение толерантности используется, например, также при классификациях информации в базах знаний.

На содержательном уровне толерантность означает следующее. Любой объект неразличим сам с собой (свойство рефлексивности), а сходство двух объектов не зависит от того, в каком порядке они сравниваются (свойство симметричности). Однако, если один объект сходен с другим, а этот другой - с третьим, то это вовсе не значит, что все три объекта схожи между собой (таким образом, свойство транзитивности может не выполняться).

Отношение толерантности часто используется для описания отношения сходства между реальными объектами, отношений знакомства или дружбы между людьми. Во всех этих случаях свойство транзитивности не предполагается обязательно быть выполненным. В самом деле, Иванов может быть знаком с Петровым, Петров - с Сидоровым, но при этом Иванов и Сидоров могут быть незнакомы между собой.

Толерантным также будет и отношение на множестве слов, при котором оно задаётся как наличие хотя бы одной общей буквы. В этом случае, например, в отношении находятся пересекающиеся слова кроссворда.

Примеры отношений

Примеры рефлексивных отношений : равенство, одновременность, сходство.

Примеры нерефлексивных отношений : «заботиться о», «развлекать», «нервировать».

Примеры транзитивных отношений : «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».

Примеры симметричных отношений : равенство (=), неравенство, отношение эквивалентности, подобия, одновременности, некоторые отношения родства (например, отношение братства).

Примеры антисимметричных отношений : больше, меньше, больше или равно.

Примеры асимметричных отношений : отношение «больше» (>) и «меньше» (<).

Бинарное отношение на множественазывается отношением эквивалентности (англ. equivalence binary relation ), если оно обладает следующими свойствами:

Рефлексивность : .

Симметричность : если, то.

Транзитивность : еслии, то.

Отношение эквивалентности обозначают символом. Запись видачитают как "эквивалентно"

Отношение равенства () является тривиальным примером отношения эквивалентности на любом множестве.

Отношение равенства по модулю : на множестве целых чисел.

Отношение параллельности прямых на плоскости.

Отношение подобия фигур на плоскости.

Отношение равносильности на множестве уравнений.

Отношение связности вершин в графе.

Отношение быть одного роста на множестве людей.

Система непустых подмножеств множестваназывается разбиением (англ. partition ) данного множества, если:

Множества называются классами данного разбиения.

Если на множестве M задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на классы эквивалентности такое, что:

любые два элемента одного класса находятся в отношении

любые два элемента разных классов не находятся в отношении

Семейство всех классов эквивалентности множества образует множество, называемое фактор-множеством , или факторизацией множества по отношению, и обозначаемое.

Равенство - классический пример отношения эквивалентности на любом множестве.

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Отношение эквивалентности»

Введение

Глава 1. Понятие отношения. Определение, типы, примеры отношений

Глава 2. Разбиение на классы. Фактор-множество. Отношение эквивалентности. Операции над эквивалентностями.

Глава 3. Отношения в школьной математике

Заключение

Список использованных источников

Введение

Настоящая курсовая работа посвящена изучению понятия отношения вообще и, в частности, отношения эквивалентности. Эти понятия являются основополагающими в курсе алгебры и в то же время они могут быть выведены из общепринятых житейских понятий равенства, сходства, порядка. Это дает возможность знакомить с ними старших школьников, не углубляясь в теорию, на конкретных примерах из школьного курса математики.

Первая глава курсовой работы будет посвящена понятию отношения вообще, способам задания отношений, алгебраической и геометрической интерпретации отношений. Будут введены некоторые теоретико-множественные операции над отношениями. Рассматриваются основные свойства отношений и значение этих свойств для геометрического и алгебраического способов задания отношений. Глава размещена на 7 листах.

Во второй главе настоящей курсовой работы раскрывается смысл отношения эквивалентности. Доказывается теорема о равносильности определений. Приводится ряд примеров. Вводится понятия разбиения на классы и фактор-множества. Определяются также некоторые другие важные отношения.

Третья глава посвящена рассмотрению некоторых отношений, вводимых на множествах знакомых и понятных любому старшему школьнику объектов. Наглядно иллюстрируются свойства отношений эквивалентности, толерантности, порядка. Делается вывод о возможности введения этих понятий на занятиях математических кружков. Глава содержит 5 листов.

Глава 1. Понятие отношения. Определение, типы, примеры отношений

Определение отношения. Способы задания отношений

Если говорить языком, доступным пониманию школьника, задать отношение - значит указать, между какими объектами оно выполняется.

Например, отношение «быть братом» будет полностью определено, если мы составим список всех пар людей, один из которых - брат второго.

Отношение может быть определено не только для пар объектов (бинарное), но и для троек, четверок и т.д.

Примерами трехместных (тернарных) отношений являются алгебраические операции. Например, отношение «образовывать сумму» имеет смысл для троек чисел (x, y, z) и выполняется в том случае, когда x + y = z.

Перейдем к более строгому определению.

Пусть А и В - некоторые произвольные непустые множества.

Определение 1.1. Декартовым произведением множества А на множество В называется множество А х В, элементами которого являются всевозможные пары (а, b), где первый элемент берется из множества А, а второй-из множества В. Две такие пары считаются равными, если у них совпадают и первые, и вторые элементы: (а, b) = (с, d) а = с и b = d.

Пример 1.1. Если А= (0, 1, +} и В = (□, о, , +}, то

А В - {(0, □), (0, о), (0. ), (0, +), (1, □), (1, o), (1, ), (1, +), (+, □), (+, о), (+, ), (+, +)}. Несложными рассуждениями устанавливается справедливость следующих соотношений:

4) A-подмножество B и С -подмножество D, то подмножество

Определение 1.3. Бинарным отношением между множествами A и В называется всякое подмножество декартова произведения А х В, т. е. любой элемент множества Р(А х В) всех подмножеств множества А х В.

Если |A| = т, |B|=n, то декартово произведение А х В будет состоять из тп различных пар. В этом случае | Р(А х В) | = 2 mn ,- это и есть общее число всевозможных бинарных отношений между множествами A и В.

Бинарные отношения будем обозначать строчными греческими буквами. Если (a, b) р, то говорят, что элемент а находится с элементом b в отношении ρ.

Среди всех отношений между множествами A и В выделяются: пустое отношение Ø, не содержащее ни одной пары; универсальное отношение, содержащее все возможные пары, т. е. само декартово произведение A и В. Для любого отношения ρ Р(А х В) имеют место включения

ρ А х В

Есть два удобных способа представления отношений между элементами конечных множеств:

) с помощью двоичных булевых матриц;

) с помощью графов.

Пусть А ={a 1 , a 2 , …a m }, B={b 1 , b 2 , …b m }, ρ А х В

Построим матрицу М(ρ) размерности т х n следующим образом. Строки этой матрицы пометим элементами множества A, расположенными в некотором фиксированном порядке, а столбцы аналогично пометим элементами множества В. Затем положим в качестве элементов матрицы М(ρ):

Здесь 0, 1 - элементы двоичной булевой алгебры B 2 . Таким образом, элемент представляет собой логическое значение высказывания «пара принадлежит отношению ρ».

Очевидно, что различным отношениям между множествами A и В соответствуют различные двоичные булевы матрицы. Подчеркнем, что порядок элементов в A и В раз и навсегда фиксирован.

Пусть М-n-элементное множество и ρ - отношение на нем. Отношение на М может быть задано матрицей размерности n x n. Матрица, для которой а ij = 0 задает пустое отношение Ø, которое не выполняется ни для одной пары.

Матрица, для которой а ij = 1 задает полное отношение М х М, которое выполняется для всех пар.

Особую роль играет также матрица ||δ i j ||, где

Символ называют символом Кронекера. Этой матрице соответствует так называемое диагональное отношение Е или отношение равенства: (x, y), если x и y - один и тот же элемент множества.

Полезно также ввести антидиагональное отношение условием:

Для пустого, полного, диагонального и антидиагонального отношений имеет место любопытное свойство - их матрицы на зависят от выбора нумерации элементов множества М. Иначе говоря, если отношение ρ таково, что при любом выборе нумерации в М матрицы || a ij || совпадают, то ρ либо полное, либо пустое, либо диагональное, либо антидиагональное.

Можно представить отношение и иначе:

Пусть снова ρ М х М. Определим (ориентированный) граф G(ρ) следующим образом: Множество вершин этого графа будут составлять множество М при этом, из вершины a i проводится ребро в вершину b j в том и только в том случае, если, причем если (а i , a i), то у точки a i нарисуем петлю, выходящую и входящую в одну и ту же точку.

Пустому отношению соответствует граф без стрелок и петель, диагональное отношение описывается графом, в котором присутствуют только петли (рис1.1). Полное отношение задается полным графом (все вершины соединены со всеми, рис 1.2).

рис. 1.1 рис. 1.2

Граф есть геометрическое изображение отношения, как график - геометрическое изображение функции. Геометрический язык полезен, когда граф достаточно прост. Наоборот, изучать и описывать графы с большим числом вершин удобнее в терминах отношений.

II. Функции как отношения

Частным случаем отношений можно считать и функции. Пусть отношение на множестве М таково, что для всякого хМ существует ровно один элемент у М, для которого (х, у) . Тем самым каждому элементу хМ сопоставляется некоторый у М, определенный этим условием. Такое отношение и называется функцией или отображением. Множество пар, для которых (х, у) , называется графиком функции.

Пример: Если М - числовая прямая, а отношение - есть отношение равенства х = у, то график состоит из всех точек вида (х, х) и является биссектрисой координатного угла (графиком функции у = х). Если отношение выполнено для тех пар, для которых у =sin x, то график этой функции -обычная синусоида.

Итак, наше определение графика - обобщение обычного графика числовых функций.

III. Операции над отношениями.

Поскольку отношения между множествами A и В представляют собой ни что иное, как подмножества множества А х В, то для них определены все теоретико-множественные операции.

Определение 1.4. Пересечением отношений ρ и δ назовем пересечение соответствующих подмножеств. Ясно что (x, y) тогда и только тогда, когда одновременно (x, y).

Определение 1.5. Объединением отношений ρ и δ назовем объединение соответствующих подмножеств. Ясно что (x, y) тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы одно из соотношений (x, y).

Важную роль играет операция, обозначаемая ρδ - произведение отношений. Эта операция определяется так: соотношение (x, y) равносильно тому, что существует такое z, для которого выполнено (x, z)

IV. Свойства отношений.

Определение 1.6. Отношение ρ называют рефлексивным, если оно всегда выполнено между объектом и им самим: (х, х).

Рефлексивные отношения всегда представимы в виде матриц, у которых на главной диагонали стоят единицы. В графе, изображающем рефлексивное отношение, каждая вершина имеет петлю.

Определение 1.7. Отношение ρ называют антирефлексивным, если из (х, у), всегда следует х ≠ у.

Отношения «быть братом», «быть старше» - антирефлексивны.

Матрица, представляющая антирефлексивное отношение, имеет на главной диагонали нули, а соответствующий граф непременно не имеет петель.

Определение 1.8. Отношение ρ называют симметричным, если из (х, у), всегда следует (у, х).

В матрице, представляющей симметричное отношение, элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны между собой a ij = a ji .

В соответствующем графе, вместе с каждой стрелкой существует стрелка противоположного направления. Симметричное отношение можно изображать виде неориентированного графа.

Определение 1.9. Отношение ρ называют асимметричным, если из двух соотношений (х, у) или (у, х) по меньшей мере, одно не выполнено.

Для матричных элементов это приводит к равенству: a ij ∙a ji =0

В соответствующем графе, не может быть стрелок, соединяющих две вершины в противоположном направлении.

Теорема 1.1: Если отношение асимметрично, то оно антирефлексивно.

Определение 1.10. Отношение ρ называют антисимметричным, если соотношения (х, у) и (у, х) выполняются одновременно, только когда х=у.

Для матричных элементов это приводит к равенству: a ij ∙a ji =0, когда i≠j

Определение 1.11. Отношение ρ называют транзитивным, если из того, что выполняются соотношения (х, z) и (z, y) следует, что (х, у). По индукции отсюда следует такое свойство: если (х, z 1), (z 1 , z 2) …(z n -1 , y) то (х, y).

Это свойство хорошо интерпретируется на графе: если точки х и у соединены путем, проходимым по направлению стрелок, то существует стрелка, непосредственно ведущая из вершины х с вершину у.

отношение эквивалентность математика

Глава 2. Разбиение на классы. Отношение эквивалентности. Свойства эквивалентности. Фактор-множество

Разбиение на классы. Отношение эквивалентности

Определение 2.1. Назовем взаимозаменяемыми те и только те объекты некоторого данного множества М, которые обладают одним и тем же набором формальных признаков, существенных в данной ситуации.

Обозначим через М х -множество всех объектов, взаимозаменяемых с объектом х. Очевидно, что х М х и объединение всех М х (при всевозможных х из М) совпадает совсем множеством М:

Предположим, что. Это значит, что существует некоторый элемент z, такой, что он одновременно принадлежит и и . Значит x взаимозаменяем с z и z взаимозаменяем с у. Следовательно, х взаимозаменяем с у, а значит и с любым элементом из. Таким образом . Аналогично показывается и обратное включение. Таким образом, встречающиеся в объединении (2.1) множества либо не пресекаются, либо целиком совпадают.

Определение 2.2. Систему непустых подмножеств {M 1 , M 2 ,….} множества М мы будем называть разбиением этого множества, если

Сам множества при этом называются классами разбиения.

Определение 2.3. Отношение ρ на множестве М называется эквивалентностью (или отношением эквивалентности), если существует такое разбиение {M 1 , M 2 ,….} множества М такое, что (х, у) выполняется тогда и только тогда, когда х и у принадлежат к некоторому общему классу M i данного разбиения.

Пусть {M 1 , M 2 ,….} разбиение множества М. Определим, исходя из этого разбиения, отношение ρ на М: (х, у),если х и у принадлежат к некоторому общему классу M i данного разбиения. Очевидно, что отношение ρ является эквивалентностью. Назовем ρ отношением эквивалентности, соответствующим данному разбиению.

Определение 2.4. Если в каждом подмножестве M i выбрать содержащийся в нем элемент х i , то этот элемент будем называть эталоном для всякого элемента у, входящего в тоже множество M i . По определению, положим выполненным отношение ρ* «быть эталоном» (х i , у)

Легко видеть, что эквивалентность ρ, соответствующая данному разбиению, может быть определена и так: (z, у) если z и у имеют общий эталон (х i , z) и (х i , у).

Пример 2.1: Рассмотрим в качестве М множество целых неотрицательных чисел и возьмем его разбиение на множество М 0 четных чисел и множество М 1 - нечетных. Соответствующее отношение эквивалентности на множестве целых чисел обозначается так:

и читается: n сравнимо с m по модулю 2. В качестве эталонов естественно выбрать 0 - для четных чисел и 1 - для нечетных. Аналогично, разбивая то же множество М на k подмножеств M 0 , M 1 ,… M k -1 , где M j состоит из всех чисел, дающих при делении на k в остатке j, мы придем к отношению эквивалентности:

которое выполняется, если n и m имеют одинаковые остатки при делении на k.

В качестве эталона в каждом M j естественно выбрать соответствующий остаток j.

II. Фактор-множество

Пусть - отношение эквивалентности. Тогда по теореме, существует разбиение {M 1 , M 2 ,….} множества М на классы эквивалентных друг другу элементов - так называемые классы эквивалентности.

Определение 2.5. Множество классов эквивалентности по отношению обозначают М/ и читают фактор-множество множества М по отношению.

Пусть φ: M → S - сюрьективное отображение множества М на некоторое множество S.

Для всякого φ: M → S - сюрьективного отображения существует такое отношение эквивалентности на множестве М, что М/ и S могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие.

III. Свойства эквивалентности

Определение 2.6. Отношение ρ на множестве М называется эквивалентностью (отношением эквивалентности), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Теорема 2.1: Если отношение ρ на множестве М рефлексивно, симметрично и транзитивно, существует такое разбиение {M 1 , M 2 ,….} множества М такое, что (х, у) выполняется тогда и только тогда, когда х и у принадлежат к некоторому общему классу M i данного разбиения.

Обратно: Если задано разбиение {M 1 , M 2 ,….} и бинарное отношение ρ задано как «принадлежать к общему классу разбиения», то ρ рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Доказательство:

Рассмотрим рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение ρ на М. Пусть для любого состоит из всех таких z, для которых (x, z) ρ

Лемма 2.1: Для любых x и y либо либо

Из леммы и рефлексивности отношения ρ следует, что множества вида образуют разбиение множества М. (Это разбиение естественно назвать разбиением, соответствующим исходному отношению). Пусть теперь (x, y) ρ. Это значит, что y. Но и х в силу (x, х) ρ. Следовательно, оба элемента входят в . Итак, если (x, y) ρ, то х и у входят в общий класс разбиения. Наоборот, пусть uи v. Покажем, что (u, v) ρ, Действительно, имеем (x, u) ρ и (x, v) ρ. Отсюда по симметричности (u, x) ρ. По транзитивности из (u, x) ρ и (x, v) ρ следует (u, v) ρ. Первая часть теоремы доказана.

Пусть дано разбиение {M 1 , M 2 ,….} множества М. Т.к. объединение всех классов разбиения совпадает с М, то любой хвходит в некоторый класс . Отсюда следует, что (x, х) ρ, т.е. ρ - рефлексивно. Если x и y входят в некоторый класс , то y и x входят в тот же класс. Это означает, что из (x, y) ρ вытекает (y, x) ρ, т.е. отношение симметрично. Пусть теперь выполнено (x, y) ρ и (y, z) ρ. Это означает, что x и y входят в некоторый класс , а y и z входят в некоторый класс . Классы имеют общий элемент у, а, следовательно, совпадают. Значит x и z входят в класс , т.е. выполняется (x, z) ρ и отношение транзитивно. Теорема доказана.

IV. Операции над эквивалентностями.

Определим здесь некоторые теоретико-множественные операции над эквивалентностями и приведем без доказательств их важные свойства.

Вспомним, что отношение - это пара (), где М - множество элементов, вступающих в отношение, а - множество пар, для которых отношение выполнено.

Определение 2.7. Пересечением отношений (ρ 1 , М) и (ρ 2 , М) назовем отношение, определенное пересечением соответствующих подмножеств. (x, y) ρ 1 ρ 2 тогда и только тогда, когда одновременно (x, y) ρ 1 и (x, y) ρ 2 .

Теорема 2.2: Пересечение ρ 1 ρ 2 эквивалентностей ρ 1 ρ 2 само является отношением эквивалентности.

Определение 2.8. Объединением отношений (ρ 1 , М) и (ρ 2 , М) назовем отношение, определенное объединением соответствующих подмножеств. (x, y) ρ 1 ρ 2 тогда и только тогда, когда (x, y) ρ 1 или (x, y) ρ 2 .

Теорема 2.3: Для того, чтобы объединение ρ 1 ρ 2 эквивалентностей ρ 1 ρ 2 само по себе было отношением эквивалентности необходимо и достаточно, чтобы

ρ 1 ρ 2 =ρ 1 ρ 2

Определение 2.9. Прямой суммой отношений (ρ 1 , М 1) и (ρ 2 , М 2) называется отношение). Прямая сумма обозначается (ρ 1 , М 1) (ρ 2 , М 2).

Таким образом, если (ρ 1 , М 1) (ρ 2 , М 2)= (), то M=.

Теорема 2.4: Если , а отношения - эквивалентности, то прямая сумма отношений (ρ 1 , М 1) (ρ 2 , М 2)= (), также является эквивалентностью.

V. Типы отношений

Введем еще несколько важных типов отношений. Примеры будут приведены в третьей главе.

Определение 2.10. Отношение ρ на множестве М называется толерантностью, если оно рефлексивно и симметрично.

Определение 2.11. Отношение ρ на множестве М называется отношением строгого порядка если оно антирефлексивно и транзитивно.

Определение 2.12. Отношение строгого порядка ρ называется совершенным строгим порядком, если для всякой пары элементов x и y из М верно либо (х, у), либо (у, х)

Определение 2.13. Отношение ρ на множестве М называется отношением нестрогого порядка если оно может быть представлено в виде:

Глава 3. Отношения в школьной математике

Отношения между геометрическими объектами

Многие хорошо известные из школьной математики понятия, в сущности, являются названиями бинарных отношений, а основные связанные с ними теоремы выражают свойства этих отношений.

Пример 3.1. Пусть М- множество всех прямых на плоскости. Соотношение Х || Y означает, что прямые X и Y параллельны. Установим некоторые свойства этого отношения.

Отношение || антирефлексивно. Действительно, никакая прямая не параллельна сама себе.

Отношение || симметрично, это видно из того, что в определении параллельности обе прямые равноправны.

Отношение || почти транзитивно. а именно: если Х || Y и Y || Z, то либо X || Z, либо пряные Х и Z совпадают. Действительно, если бы это было не так, то прямые X и Z пересекались бы. Но, как известно из геометрии, если прямая Z пересекается с одной из параллельных X, то она пересекается и с другой из параллельных Y, т.е. было бы невозможно соотношение Y || Z.

Таким образом, отношение параллельности между прямыми не обладает еще хорошими свойствами. Но сказанное выше позволяет легко сообразить, какое отношение, родственное параллельности, будет отношением эквивалентности. А именно, определим отношение

Которое выполняется, когда прямые параллельны, либо совпадают. По определению, Х ||| X для любой прямой Х. Симметричность отношения ||| также очевидна. Наконец, если Х||| Y и Y ||| Z, то Х ||| Z. В самом деле, если Х || Y и Y = Z, то Х || Z; если Х = Y и Y || Z, то Х || Z. Наконец, если Х || Y и Y || Z, то, по сказанному ранее, либо Х = Z, либо Х || Z. Во всех случаях имеем Х ||| Z.

Отношение ||| на множестве прямых очень естественно выглядит в алгебраической форме. Если на плоскости ввести декартовы координаты х и у, то всякая прямая, не перпендикулярная оси Ох (не вертикальная) задается уравнением y=kx+b. Иначе говоря, любая (за указанным исключением) прямая определяется парой чисел (k, b). Пусть прямая Х задается уравнением y=kx+b, а прямая Y -- уравнением y=k’x+b’. Тогда соотношение X|||Y выполняется в том и только в том случае, когда k=k’ (k- тангенс угла наклона прямой к оси Ох). Соотношение X||Y означает, что k=k’ и одновременно b≠b’, т.е. прямые различны. Для вертикальных прямых можно положить k=∞ (), и условие k=k’будет по-прежнему означать X|||Y. Однако, это соглашение не очень красиво, так как при k=∞ у нас не определен второй параметр, различающий параллельные прямые.

В аналитической геометрии дается более универсальная (нормальная) форма задания прямой: x cos α + y sin α - p =0, которая описывает прямую любого вида. Здесь р - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, α - угол наклона этого перпендикуляра к оси абсцисс.

Тем самым каждой прямой взаимно-однозначно сопоставлена пара чисел (α, р), где 0 ≤ α < 2π и 0 ≤ р < +∞. Соотношение X|||Y означает, что для соответствующих прямых α = α’ или α = α’ + π. Каждой прямой соответствует точка на плоскости параметров α и р, лежащая в области, изображенной на рисунке 3.2. Пары вертикальных прямых α=const и α+ π=const (0 ≤ α < π) суть классы эквивалентности отношения |||.

Пример 3.2. На множестве прямых на плоскости существует еще одно важное отношение: X ┴Y (X перпендикулярна Y). Отношение перпендикулярности обладает следующими важными свойствами:

1. Антирефлексивность. Невозможно X ┴ X.

2. Симметричность. Если X ┴ Y, то Y ┴ X.

3. Если X ┴ Y и Y ┴ Z то невозможно Х ┴ Z. Из X ┴ Y и Y ┴ Z следует, очевидно, X ||| Z. Обратно, если X ||| Z, то существует общий перпендикуляр Y к прямым Х и Z, т.е. такое Y, что X ┴ Y и Y ┴ Z.

Оба последних утверждения означают, что квадрат отношения перпендикулярности есть отношение ||| - «усиленной параллельности»:

┴ ┴ = ┴ 2 =|||.

Пример 3.3. Введем на М еще одно отношение X Пер Y, означающее, что прямые имеют хотя бы одну общую точку, т.е. пересекаются или совпадают. Ясно, что отношение Пер рефлексивно, симметрично, но не транзитивно и является отношением толерантности.

Выберем на плоскости некоторую точку Р и рассмотрим множество К р всех прямых, проходящих через эту точку. Легко видеть, что К р есть класс толерантности. Действительно, любые прямые из К р имеют общую точку, а именно - саму точку Р. С другой стороны, любая прямая Х, не входящая в К р, не пересекается с некоторой прямой из К р, а именно с прямой, проходящей через точку Р параллельной Х.

Пример 3.4. Пусть теперь М -- множество всех треугольников на плоскости. Равенство и подобие треугольников - суть отношения эквивалентности.

Пример 3.5. Обозначим через М к множество окружностей на плоскости и определим отношение X |= Y условием, что окружность X находится внутри окружности Y. Это отношение антирефлексивно, транзитивно, т.е. является строгим порядком. Этот порядок не является совершенным, т.к. существуют окружности, не одна из которых не лежит внутри другой.

Пример 3.6. Множеству всех прямых присвоим обозначение М п. тогда можно рассмотреть отношения между прямыми и окружностями. Примером такого отношения является отношение X Кас Y - прямая X касается окружности Y.

II. Отношения между уравнениями.

Пусть теперь множество М состоит из уравнений вида:

f(x)=g(x) (α)

Множество всех корней уравнения α будем обозначать Rα.

Например, для уравнения

x 2 =x 3 (α 1)

Rα 1 ={0,1}.Для уравнения

cos x=sin x (α 2)

Rα 2 ={…}.Для уравнения

X 2 =-1 (α 3)

Rα 3 =Ø. Для уравнения

(1+ x) 2 = x 2 +2x+1 (α 4)

Rα 4 =(-∞, +∞).

Пример 3.7. Введем теперь отношения между уравнениями: назовем уравнения α и β равносильными α ≈ β, если Rα = Rβ.

Из того, что равенство множеств есть отношение эквивалентности, легко получается, что отношение ≈ есть отношение эквивалентности. В школьном курсе изучаются преобразования уравнений, которые переводят уравнение α в равносильное ему уравнение β.

Пример 3.8. Уравнение α не сильнее уравнения β: α => β, если Rα содержится в Rβ. В этом случае говорят что уравнение β не слабее α.

Отношение => рефлексивно и транзитивно, т.е. является квазипорядком. Из α => β и β => α вытекает равносильность α ≈ β. Обратно, из равносильности α ≈ β следует α => β и β => α. Таким образом, ≈ = =>=> -1 .

Пример 3.9. На множестве уравнений, имеющих хотя бы один корень, легко определить естественное отношение толерантности - наличие общих корней: Rα ∩ Rβ ≠ Ø.

Пример 3.10. Можно ввести еще отношение эффективной равносильности. Уравнения α и β будем называть эффективно равносильными, если каждое из них можно преобразовать в другое с помощью конечного числа равносильных преобразований (разрешенных приемов из фиксированного списка).

В силу транзитивности отношения , любое число применения таких приемов не нарушают равносильности. Поэтому эффективно равносильные уравнения являются равносильными, что можно назвать включением одного отношения в другое.

Рассмотренные примеры отношений ярко иллюстрируют понятие отношения, в том числе и отношения эквивалентности, их свойства легко проверяются инструментом школьной математики и вполне наглядны. Поэтому, можно вводить понятие отношений старшим школьникам, занимающимся в математических кружках.

Заключение

Бинарные отношения - очень удобный и простой аппарат для решения весьма разнообразных задач. Язык бинарных (и более общих) отношений очень удобен и естествен для математической лингвистики, математической биологии и целого ряда других прикладных (для математики) областей. Это очень легко объяснить, если сказать, что геометрический аспект теории бинарных отношений есть попросту теория графов. Но насколько геометрическая теории графов известна и хорошо освещена в литературе, настолько скудно изложены алгебраические аспекты теории отношений.

А между тем алгебра отношений может быть рассказана вполне общедоступно. Так, чтобы ее могли усвоить старшие школьники, занимающиеся в математических кружках.

В данной работе были рассмотрены понятия отношения, эквивалентности, разобраны некоторые их свойства, приведены геометрические интерпретации и наглядные примеры.

Список использованных источников

1. Богомолов А.М., Салий В.Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. - М.: Наука. Физматлит, 1997. -368с.

2. Шрейдер Ю.А. Равенство. Сходство. Порядок. - М.: Наука, 1971.-256с.

Кострикин А.И. Введение в алгебру. - М.: Наука, 1977.-334с.

Б.Л. ван-дер-Варден. Современная алгебра. в 2 т. Т.1.- М., ОГИЗ ГОСТЕХИЗДАТ, 1947 -339с.

I. Разбиение на классы. Отношение эквивалентности

Предположим, что. Это значит, что существует некоторый элемент z, такой, что он одновременно принадлежит и и. Значит x взаимозаменяем с z и z взаимозаменяем с у. Следовательно, х взаимозаменяем с у, а значит и с любым элементом из. Таким образом. Аналогично показывается и обратное включение. Таким образом, встречающиеся в объединении (2.1) множества либо не пресекаются, либо целиком совпадают.

Сам множества при этом называются классами разбиения.

Определение 2.3. Отношение с на множестве М называется эквивалентностью (или отношением эквивалентности), если существует такое разбиение {M 1 , M 2 ,….} множества М такое, что (х, у) выполняется тогда и только тогда, когда х и у принадлежат к некоторому общему классу M i данного разбиения.

Пусть {M 1 , M 2 ,….} разбиение множества М. Определим, исходя из этого разбиения, отношение с на М: (х, у),если х и у принадлежат к некоторому общему классу M i данного разбиения. Очевидно, что отношение с является эквивалентностью. Назовем с отношением эквивалентности, соответствующим данному разбиению.

Легко видеть, что эквивалентность с, соответствующая данному разбиению, может быть определена и так: (z, у) если z и у имеют общий эталон (х i , z) и (х i , у).

и читается: n сравнимо с m по модулю 2. В качестве эталонов естественно выбрать 0 - для четных чисел и 1 - для нечетных. Аналогично, разбивая то же множество М на k подмножеств M 0 , M 1 ,… M k-1 , где M j состоит из всех чисел, дающих при делении на k в остатке j, мы придем к отношению эквивалентности:

которое выполняется, если n и m имеют одинаковые остатки при делении на k.

В качестве эталона в каждом M j естественно выбрать соответствующий остаток j.

II. Фактор-множество

Пусть ц: M > S - сюрьективное отображение множества М на некоторое множество S.

Для всякого ц: M > S - сюрьективного отображения существует такое отношение эквивалентности на множестве М, что М/ и S могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие.

III. Свойства эквивалентности

Определение 2.6. Отношение с на множестве М называется эквивалентностью (отношением эквивалентности), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Теорема 2.1: Если отношение с на множестве М рефлексивно, симметрично и транзитивно, существует такое разбиение {M 1 , M 2 ,….} множества М такое, что (х, у) выполняется тогда и только тогда, когда х и у принадлежат к некоторому общему классу M i данного разбиения.

Обратно: Если задано разбиение {M 1 , M 2 ,….} и бинарное отношение с задано как «принадлежать к общему классу разбиения», то с рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Доказательство:

Рассмотрим рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение с на М. Пусть для любого состоит из всех таких z, для которых (x, z) с

Лемма 2.1: Для любых x и y либо либо

Из леммы и рефлексивности отношения с следует, что множества вида образуют разбиение множества М. (Это разбиение естественно назвать разбиением, соответствующим исходному отношению). Пусть теперь (x, y) с. Это значит, что y. Но и х в силу (x, х) с. Следовательно, оба элемента входят в. Итак, если (x, y) с, то х и у входят в общий класс разбиения. Наоборот, пусть uи v. Покажем, что (u, v) с, Действительно, имеем (x, u) с и (x, v) с. Отсюда по симметричности (u, x) с. По транзитивности из (u, x) с и (x, v) с следует (u, v) с. Первая часть теоремы доказана.

Пусть дано разбиение {M 1 , M 2 ,….} множества М. Т.к. объединение всех классов разбиения совпадает с М, то любой хвходит в некоторый класс. Отсюда следует, что (x, х) с, т.е. с - рефлексивно. Если x и y входят в некоторый класс, то y и x входят в тот же класс. Это означает, что из (x, y) с вытекает (y, x) с, т.е. отношение симметрично. Пусть теперь выполнено (x, y) с и (y, z) с. Это означает, что x и y входят в некоторый класс, а y и z входят в некоторый класс. Классы имеют общий элемент у, а, следовательно, совпадают. Значит x и z входят в класс, т.е. выполняется (x, z) с и отношение транзитивно. Теорема доказана.

IV. Операции над эквивалентностями.

Определение 2.7. Пересечением отношений (с 1 , М) и (с 2 , М) назовем отношение, определенное пересечением соответствующих подмножеств. (x, y) с 1 с 2 тогда и только тогда, когда одновременно (x, y) с 1 и (x, y) с 2 .

Теорема 2.2: Пересечение с 1 с 2 эквивалентностей с 1 с 2 само является отношением эквивалентности.

Определение 2.8. Объединением отношений (с 1 , М) и (с 2 , М) назовем отношение, определенное объединением соответствующих подмножеств. (x, y) с 1 с 2 тогда и только тогда, когда (x, y) с 1 или (x, y) с 2 .

Теорема 2.3: Для того, чтобы объединение с 1 с 2 эквивалентностей с 1 с 2 само по себе было отношением эквивалентности необходимо и достаточно, чтобы

с 1 с 2 =с 1 с 2

Определение 2.9. Прямой суммой отношений (с 1 , М 1) и (с 2 , М 2) называется отношение). Прямая сумма обозначается (с 1 , М 1) (с 2 , М 2).

Таким образом, если (с 1 , М 1) (с 2 , М 2)= (), то M=.

Теорема 2.4: Если, а отношения - эквивалентности, то прямая сумма отношений (с 1 , М 1) (с 2 , М 2)= (), также является эквивалентностью.

V. Типы отношений

Введем еще несколько важных типов отношений. Примеры будут приведены в третьей главе.

Определение 2.10. Отношение с на множестве М называется толерантностью, если оно рефлексивно и симметрично.

Определение 2.11. Отношение с на множестве М называется отношением строгого порядка если оно антирефлексивно и транзитивно.

Определение 2.12. Отношение строгого порядка с называется совершенным строгим порядком, если для всякой пары элементов x и y из М верно либо (х, у), либо (у, х)

Определение 2.13. Отношение с на множестве М называется отношением нестрогого порядка если оно может быть представлено в виде:

где строгий порядок на М, а Е -диагональное отношение.

Рассмотрим на множестве дробей X = { } отношение равенства. Это отношение:

Рефлексивно, так как всякая дробь равна сама себе;

Симметрично, так как из того, что дробь равна дроби , следует, что дробь равна дроби ;

Транзитивно, так как из того, что дробь равна дроби и дробь равна дроби , следует, что дробь равна дроби .

Про отношение равенства дробей говорят, что оно является отношением эквивалентности.

Определение. Отношение R на множестве X называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности .

Примерами отношений эквивалентности могут служить отношения равенства геометрических фигур, отношение параллельности прямых (при условии, что совпадающие прямые считаются параллельными).

Почему в математике выделили этот вид отношений? Рассмотрим отношения равенства дробей, заданного на множестве X = { }. (Рис.7).

Видим, что множество разбилось на три подмножества: Эти подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством X, т е имеем разбиение множества X на классы. Это не случайно.

Вообще если на множестве X задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности).

Так, мы установили, что отношению равенства на множестве дробей

X = { } соответствует разбиение этого множества на классы эквивалентности, каждый из которых состоит из равных между собой дробей.

Верно и обратное утверждение: если какое-либо отношение, заданное на множестве X, порождает разбиение этого множества на классы, то оно является отношением эквивалентности.

Рассмотрим, например, на множестве X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Оно порождает разбиение множества X на классы: в один попадут все числа, при делении которых на 3 получается в остатке 0 (это числа 3, 6, 9), во второй - числа, при делении которых на 3 в остатке получается 1 (это числа 1, 4, 7, 10), и в третий - все числа, при делении которых на 3 в остатке получается 2 (это числа 2, 5, 8). Действительно, полученные подмножества не пересекаются и их объединение совпадает с множеством X. Следовательно, отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3», заданное на множестве X, является отношением эквивалентности. Заметим, что утверждение о взаимосвязи отношения эквивалентности и разбиения множества на классы нуждается в доказательстве. Мы его опускаем. Скажем только, что если отношение эквивалентности имеет название, то соответствующее название дается и классам. Например, если на множестве отрезков задается отношение равенства (а оно является отношением эквивалентности), то множество отрезков разбивается на классы равных отрезков (см. рис. 4). Отношению подобия соответствует разбиение множества треугольников на классы подобных треугольников.

Итак, имея отношение эквивалентности на некотором множестве, мы можем разбить это множество на классы. Но можно поступить и наоборот: сначала разбить множество на классы, а затем определить отношение эквивалентности, считая, что два элемента эквивалентны тогда и только тогда, когда они принадлежат одному классу рассматриваемого разбиения.

Принцип разбиения множества на классы при помощи некоторого отношения эквивалентности является важным принципом математики. Почему?

Во-первых , эквивалентный - это значит равносильный, взаимозаменяемый. Поэтому элементы одного класса эквивалентности взаимозаменяемы. Так, дроби, оказавшиеся в одном классе эквивалентности неразличимы с

точки зрения отношения равенства, и дробь может быть заменена другой, например И эта замена не изменит результата вычислений.

Во-вторых , поскольку в классе эквивалентности оказываются элементы, неразличимые с точки зрения некоторого отношения, то считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом этого класса. Так, любой класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу. Определение класса эквивалентности по одному представителю позволяет вместо всех элементов множества изучать совокупность отдельных представителей из классов эквивалентности. Например, отношение эквивалентности «иметь одинаковое число вершин», заданное на множестве многоугольников, порождает разбиение этого множества на классы треугольников, четырехугольников, пятиугольников и т.д. Свойства, присущие некоторому классу, рассматриваются на одном его представителе.

В-третьих , разбиение множества на классы с помощью отношения эквивалентности используется для введения новых понятий. Например, понятие «пучок прямых» можно определить как то общее, что имеют параллельные между собой прямые.

Вообще любое понятие, которым оперирует человек, представляет собой некоторый класс эквивалентности. «Стол», «дом», «книга» - все эти понятия являются обобщенными представлениями о множестве конкретных предметов, имеющих одинаковое назначение.

Другим важным видом отношений являются отношения порядка. Оно определяется следующим образом.

Определение. Отношение R на множестве X называется отношением порядка, если оно одновременно обладает свойством антисимметричности и транзитивности.

Примерами отношений порядка могут служить: отношения «меньше» на множестве натуральных чисел; отношения

«короче» на множестве отрезков, поскольку они антисимметричны и транзитивны.

Если отношение порядка обладает еще свойством связанности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка.

Например, отношение «меньше» на множестве натуральных чисел является отношением линейного порядка, так как обладает свойствами антисимметричности, транзитивности и связанности.

Определение. Множество X называется упорядоченным, если на нем задано отношение порядка.

Так, множество N натуральных чисел можно упорядочить, если задать на нем отношение «меньше».

Если отношение порядка, заданное на множестве X, обладает свойством связанности, то говорят, что оно линейно упорядочивает множество X.

Например, множество натуральных чисел можно упорядочить и с помощью отношения «меньше», и с помощью отношения «кратно» - оба они являются отношениями порядка. Но отношение «меньше», в отличие от отношения «кратно», обладает еще и свойством связанности. Значит, отношение «меньше» упорядочивает множество натуральных чисел линейно.

Не следует думать, что все отношения делятся на отношения эквивалентности и отношения порядка. Существует огромное число отношений, не являющихся ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.

Широкое применение отношений эквивалентности в современной математике связано с тем, что всякое отношение эквивалентности осуществляет разбиение множества, в котором оно определено, на классы.

П р и м е р 1. Пусть на множестве всех целых неотрицательных чисел N 0 = {0, 1, 2, 3, …} задано отношение Р : «числа х и у имеют один и тот же остаток при делении на 3». Докажем, что Р – отношение эквивалентности и определим классы эквивалентности, определяемые этим отношением.

В самом деле:

а) отношение Р – рефлексивно, поскольку любое х Î N 0 имеет при делении на 3 тот же остаток, что х ;

б) Р – симметрично, поскольку для любых х, у Î N 0 , если числа х и у у и х имеют один и и тот же остаток при делении на 3;

в) Р – транзитивно, поскольку для любых трех чисел x, y, z Î N 0, если х и у имеют один и тот же остаток при делении на 3, и у и z имеют один и тот же остаток при делении на 3, то числа х и z имеют один и тот же остаток при делении на 3.

Следовательно, отношение Р : «числа х и у имеют один и тот же остаток при делении на 3» является отношением эквивалентности, и поэтому оно разбивает множество N 0 на классы. Эти классы называются классами вычетов по модулю 3.

– так обозначается класс чисел, дающих при делении на 3 остаток 0, т.е. = {0, 3, 6, 9, 12 …}, или = {3k }, где k Î N 0 .

– так обозначается класс чисел, дающих при делении на 3 остаток 1, т.е. = {1, 4, 7, 10, 13 …}, или = {3k + 1};

– так обозначается класс чисел, дающих при делении на 3 остаток 2, т.е. = {2, 5, 8, 11, 14 …}, или = {3k + 2}.

Итак, отношение Р разбивает множество N 0 на 3 класса, и вообще, можно доказать, что отношение «числа х и у имеют один и тот же остаток при делении на m » разбивает это множество на m классов.

П р и м е р 2. На множестве N – натуральных чисел задано отношение Р следующим образом: (х 1 , у 1) Р (х 2 , у 2) .

Установим, что Р является отношением эквивалентности и определим классы эквивалентности, определяемые этим отношением.

Действительно, это отношение:

а) рефлексивно, поскольку для любых пар (х , у ) имеет место
ху = ух ;

б) симметрично, поскольку для любых двух пар натуральных чисел (х 1 , у 1) и (х 2 , у 2), если х 1 у 2 = у 1 х 2 , то х 2 у 1 = у 2 х 1 ;

в) транзитивно, поскольку для любых трех пар (х 1 , у 1), (х 2 , у 2), (х 3 , у 3), если х 1 у 2 = у 1 х 2 и х 2 у 3 = у 2 х 3 , то х 1 у 2 х 2 у 3 = у 1 х 2 у 2 х 3 , т.е. х 1 у 3 = у 1 х 3 .

Таким образом, отношение Р разбивает множество N на классы эквивалентности. Каждый из этих классов называется рациональным числом.

Например, пары (1, 2), (2, 4), (3, 6) принадлежат одному классу {(1, 2), (2, 4), (3, 6), …}. Можно этот класс определить следующим образом , т.е. как множество пар, эквивалентных паре (1, 2). Обычно эти пары записывают так: и называют дробями, а эквивалентность пар называют равенством дробей. Для упрощения заменяют класс эквивалентности каким-нибудь его элементом (представителем), чаще всего наиболее простым (несократимой дробью), называя его рациональным числом. Такое упрощение допустимо, так как рациональное число, как класс эквивалентности, однозначно определяется любым элементом этого класса, а операции над рациональными числами, как над классами пар, определяются через операции над представителями этих классов таким образом, что результаты этих операций не зависят от выбора представителей.

Как видно, дробь – форма выражения числа, при этом бесконечное множество дробей, составляющих один класс эквивалентности по отношению P на N , выражает одно число, которое может оказаться целым или дробным положительным числом, т.е. одно рациональное число.